导数及其应用.板块三.导数应用最值.学生(高中数学选修题库).doc

板块三.导数的应用

典例分析

题型四：函数的最值
【例1】 函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【例2】 已知（是常数）在上有最大值，那么在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 设函数 则的最大值为 ．
【例4】 函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例5】 设函数，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
【例6】 对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为 ．
【例7】 设函数在内有定义．对于给定的正数，定义函数，
取函数，若对任意的，恒有，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【例8】 下列说法正确的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C．满足的点可能不是函数的极值点
D．函数在区间上一定存在最值
【例9】 函数在区间上的最大值是 ；最小值是 ．
【例10】 对于函数，有下列命题：
①过该函数图象上一点的切线的斜率为；
②函数的最小值为；
③该函数图象与轴有个交点；
④函数在上为减函数，在上也为减函数．
其中正确命题的序号是 ．
【例11】 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
① 对于任意，函数是上的减函数；
② 对于任意，函数存在最小值；
③ 存在，使得对于任意的，都有成立；
④ 存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．
【例12】 已知在区间上是减函数，那么（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【例13】 求在上的最大值和最小值．
【例14】 已知函数．
⑴ 求函数的单调递减区间；
⑵ 当时，求函数的最大值和最小值．
【例15】 已知函数的最大值为，最小值为，求、的值．
【例16】 已知函数，其中．若在区间上的最小值为，求的值．
【例17】 已知，函数，当为何值时，取得最小值？
【例18】 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
⑴求，，的值；
⑵求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
【例19】 设，函数．
⑴若是函数的极值点，求的值；
⑵若函数在处取得最大值，求的取值范围．
⑶若函数在时的最大值为，求的值．
【例20】 已知函数，
⑴ 求的单调递减区间；
⑵ 若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
【例21】 已知．
⑴ 当时，讨论的单调性、极值；
⑵ 是否存在实数，使的最小值是，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【例22】 设，函数．
⑴ 当时，求曲线在处的切线方程；
⑵ 当时，求函数的单调性；
⑶ 当，时，求函数的最小值．
【例23】 设是函数的一个极值点．
⑴求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
⑵设，．若存在使得成立，
求的取值范围．
【例24】 已知函数，．
⑴求的单调区间和值域；
⑵设，函数，．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【例25】 已知函数，，且有极值．
⑴求实数的取值范围；
⑵求函数的值域；
⑶函数，证明：，，使得成立．
【例26】 已知函数．
⑴ 当时，讨论的单调性；
⑵ 设．当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围．
【例27】 设函数
⑴当时，求的单调区间；
⑵若在上的最大值为，求的值．
【例28】 已知函数．
⑴当时，求函数的单调区间；
⑵若函数在上的最小值是求的值．
【例29】 已知是实数，函数．
⑴若，求的值及曲线在点处的切线方程；
⑵求的极值．
⑶求在区间上的最大值．
【例30】 已知函数，．
⑴ 讨论的单调性；
⑵ 设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数．
【例31】 已知为实数，．
⑴求导数；
⑵若，求在上的最大值和最小值；
⑶若在和上都是递增的，求的取值范围．
【例32】 已知函数，
⑴ 若在上是减函数，求的最大值；
⑵ 若的单调递减区间是，求函数图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积．
【例33】 设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形的面积为，
⑴求切线的方程；⑵求的最大值．
【例34】 已知函数，，
⑴ 若在区间上的最大值为1，最小值为，求、的值；
⑵ 在⑴的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
⑶ 设函数的导函数为，函数，试判断函数的极值点个数，并求出相应实数的范围．
【例35】 在实数集上定义运算，若，，若．
⑴求的解析式；
⑵若在上是减函数，求实数的取值范围；
⑶若，的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．
【例36】 已知函数，，且．
⑴若，求的值；
⑵当时，求函数的最大值；
⑶求函数的单调递增区间．
【例37】 已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，
求在区间上的最大值；
⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．
【例38】 已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，
①求在区间上的最大值；
②求函数的单调区间．
【例39】 已知函数，其中．
⑴求函数的零点；
⑵讨论在区间上的单调性；
⑶在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【例40】 已知函数，其中．
⑴若函数存在零点，求实数的取值范围；
⑵当时，求函数的单调区间，并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【例41】 已知函数，．曲线在点处的切线与轴和轴分别交于、两点，设为坐标原点，求面积的最大值．
【例42】 已知函数．
⑴写出函数的定义域，并求函数的单调区间；
⑵设过曲线上的点的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为，求的最小值，并求此时点的坐标．
【例43】 函数，该函数图象在点处的切线为，设切线分别交轴和轴于两点和．
⑴将（为坐标原点）的面积表示为的函数；
⑵若，函数的图象与轴交于点，则与的大小关系如何？证明你的结论；
⑶若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值．
【例44】 如图，曲线段是函数的图象，轴于点，曲线段上一点处的切线交轴于点，交线段于点，
⑴若已知，求切线的方程；⑵求的面积的最大值．