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实验五1实验五 信号的抽样与恢复

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15

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实验五 信号的抽样与恢复
一、实验目的
（1） 验证抽样定理；
（2） 熟悉信号的抽样与恢复过程；
（3） 通过实验观察欠采样时信号频谱的混迭现象；
（4） 掌握采样前后信号频谱的变化，加深对采样定理的理解;
（5） 掌握采样频率的确定方法.

二、 实验内容和原理
信号的抽样与恢复示意图如图4.1所示。

图5－1 信号的抽样与恢复示意图
抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号，其最高频率为，经过等间

隔抽样后，只要抽样频率不小于信号最高频率的二倍，即满足，就能从抽样信号中恢复原信号，得到。与相比没有失真,只有幅度和相位的差异。一般把最低的抽样频率称为奈奎斯特抽样频率.当时,的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。
的幅度频谱为
；开关信号为周期矩形脉冲，其脉宽相对于周期非常小，故将其视为冲激序列，所以的幅度频谱亦为冲激序列;抽样信号的幅度频谱为；的幅度频谱为.如图4。1所示。
观察抽样信号的频谱，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足）就能恢复原信号。
信号抽样与恢复的原理框图如图4。2所示。

图 5－2 信号抽样与恢复的原理框图

由原理框图不难看出，A/D转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理;D/A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号。
三、涉及的MATLAB函数
subplot(2，1,1）
xlabel（’时间， msec')；ylabel(’幅值’);
title(’连续时间信号 x_{a}(t）’)；
axis(［0 1 -1。2 1。2］）
stem(k,xs)；grid；
linspace（—0.5，1。5,500)'；
ones(size（n)
freqs（2，[1 2 1]，wa）；
plot(wa/（2＊pi）,abs(ha）
buttord（Wp, Ws, 0。5, 30,'s')；
［Yz, w] = freqz(y, 1, 512)；
M= input（'欠采样因子 = ’）;
length（nn1）
y = interp（x，L)
[b,a］ = butter(N， Wn, 's’）;
get（gfp,'units');
set(gfp，’position’,［100 100 400 300］）；
fx1=fft（xs1）
abs（fx2（n2+1）)
y = resample（x,L，M)；
四、实验内容与方法
1. 验证性实验
1) 正弦信号的采样
MATLAB程序：
clf;
t = 0:0。0005:1;
f = 13;
xa = cos（2*pi＊f＊t）；
subplot(2,1,1）
plot（t，xa）；grid
xlabel(’时间, msec')；ylabel(’幅值')；
title（'连续时间信号 x_{a}（t）'）；
axis([0 1 -1.2 1.2]）
subplot(2,1,2）；
T = 0。1；
n = 0：T：1；
xs = cos（2*pi＊f*n）;
k = 0：length（n）—1;
stem（k,xs)；grid；
xlabel('时间，msec')；ylabel(’幅值')；
title(’离散时间信号 x［n]’）;
axis（［0 （length（n）—1) —1。2 1。2］)
正弦信号的采样结果如图4。3所示。

图5－3 正弦信号的采样
2）采样与重构
MATLAB程序：
clf;
T = 0.1;f = 13;
n = （0：T:1）'；
xs = cos(2＊pi*f*n）;
t = linspace(—0.5,1.5,500)’；
ya = sinc((1/T）＊t（:，ones（size（n))) — （1/T)＊n(:，ones(size(t）)）')*xs;
plot(n，xs，'o',t,ya）；grid;
xlabel(’时间, msec’)；ylabel（'幅值’)；
title（'重构连续信号 y_｛a｝(t）');
axis(［0 1 -1.2 1。2］);
正弦信号的采样与重构结果如图4。4所示。

图5－4 正弦信号的采样与重构结
3)采样的性质
MATLAB程序：
clf；
t = 0:0。005：10;
xa = 2*t。＊exp(—t)；
subplot(2，2,1)
plot(t，xa);grid
xlabel（'时间信号, msec’）；ylabel(’幅值'）;
title（’连续时间信号 x_｛a}（t)'）；
subplot（2，2,2)
wa = 0：10/511:10；
ha = freqs（2，[1 2 1］，wa）;
plot(wa/（2＊pi),abs（ha)）;grid；
xlabel(’频率, kHz'）；ylabel（’幅值')；
title(’｜X_｛a}(j\Omega)|'）;
axis([0 5/pi 0 2])；
subplot(2，2,3)
T = 1;
n = 0:T:10;
xs = 2*n.*exp（—n);
k = 0：length（n)—1；
stem(k，xs)；grid；
xlabel(’时间 n');ylabel（'幅值')；
title（’间散时间信号 x［n］')；
subplot(2,2,4）
wd = 0:pi/255：pi;hd = freqz(xs，1,wd）；
plot(wd/(T*pi）, T*abs（hd)）；grid；
xlabel(’频率， kHz’）;ylabel(’幅值')；
title('|X(e^｛j\omega}）|'）;axis([0 1/T 0 2］）

信号采样的性质如图4.5所示.

图5－5 信号采样的性质
4）模拟低通滤波器设计
MATLAB程序：
clf;
Fp = 3500；Fs = 4500；
Wp = 2*pi＊Fp; Ws = 2＊pi*Fs；
[N, Wn] = buttord(Wp， Ws， 0.5， 30，'s’）;
［b，a］ = butter(N， Wn， ’s');
wa = 0：(3＊Ws)/511:3*Ws；
h = freqs（b,a,wa）;
plot(wa/(2*pi）, 20＊log10(abs（h）））;grid
xlabel（’Frequency， Hz’）；ylabel(’Gain, dB’)；
title（'Gain response'）；
axis(［0 3*Fs -60 5]）；
模拟低通滤波器的设计结果如图4.6所示

图5－6所示 模拟低通滤波器的设计
5）时域过采样
MATLAB程序:
clf；
n=0:50;
x = sin（2*pi＊0。12*n）;
y=zeros(1,3length(x）)；
y（［1：3:length（y）])=x;
subplot(2，1，1）
stem(n,x)；
title（’输入序列’);
subplot（2，1,2)
stem(n,y（1:length（x))）；
title（’输出序列'）;
离散信号的时域过采样结果如图4。7所示。

图5－7 离散信号的时域过采样
6）时域欠采样
MATLAB程序：

clf；
n=0：49；
m=0:50*3—1;
x = sin（2＊pi＊0。042*m）；
y=x([1：3：length(x)］);
subplot(2，1，1)
stem（n，x1：50)）；axis(［0 50 -1。2 1。2］）;
title('输入序列’）；
subplot(2,1,2)
stem（n，y）; axis（［0 50 —1.2 1.2］);
title(’输出序列')；
离散信号的时域欠采样结果如图4。8所示.

图5－8 离散信号的时域欠采样
7)频域过采样
MATLAB程序:
freq = ［0 0。45 0。5 1］；
mag = [0 1 0 0］；
x = fir2（99， freq， mag）;
[Xz， w］ = freqz(x， 1， 512)；
Subplot（2,1,1)；
plot（w/pi， abs（Xz)); grid
title（’输入谱’);
Subplot(2,1,2);

L = input（'过采样因子 = '）；
y = zeros(1， L*length(x）)；
y([1： L: length（y)]） = x;
[Yz， w］ = freqz(y， 1, 512）；
plot(w/pi, abs（Yz）)； axis(［0 1 0 1])；grid
title(’输出谱’）；
信号的频域欠采样结果如图4.9所示.

图5－9 信号的频域欠采样

8）频域欠采样
freq = ［0 0。42 0。48 1]；
mag = ［0 1 0 0］；
x = fir2(101, freq， mag);
［Xz, w］ = freqz(x， 1， 512）；
Subplot(2,1，1）;
plot(w/pi, abs(Xz））; grid
title('输入谱')；
M= input（’欠采样因子 = ’);
y=x（[1:M： length(x）］)；
［Yz, w］ = freqz（y， 1， 512)；
Subplot(2，1，2）；
plot(w/pi， abs(Yz)）；grid
title('输出谱’）;
信号的频域欠采样结果如图4.10所示。

图5－10 信号的频域欠采样
9）采样过程演示
MATLAB程序：
clf；
M = input（’欠采样因子 = ’);
n = 0：99；
x = sin（2＊pi＊0.043*n) + sin(2＊pi＊0.031＊n）；
y = decimate(x，M，’fir’);
gfp=figure;
get（gfp，'units');
set(gfp,’position’，［100 100 400 300］);
subplot（2，1,1)；
stem（n，x(1：100）);
title（’输入序列’)；
subplot（2，1，2);
m = 0：(100/M）-1;
stem(m,y(1：100/M））;
title（'输出序列’）;
信号的采样结果如图4。11所示。

图5－11 信号的采样结果
10)插值过程
MATLAB程序:
clf；
L = input（'过采样因子 = ')；
n = 0：49;
x = sin(2*pi＊0.043＊n） + sin（2＊pi＊0.031*n);
y = interp(x，L）；
subplot(2，1，1)；
stem(n,x（1：50）);
title('输入序列')；
subplot（2，1,2）；
m = 0:(50＊L）-1;
stem(m,y（1：50*L)）；
title(’输出序列’);
信号的插值过程结果如图4。12所示

图5－12 信号的插值过程
11)两速率采样
MATLAB程序:
clf；
L = input('过采样因子= ’）;
M = input('欠采样因子= ’）；
n = 0:29;
x = sin(2*pi*0.43*n） + sin（2*pi＊0。31*n）;
y = resample（x,L，M）；
subplot（2，1，1）；
stem（n,x（1：30));
axis（［0 29 -2.2 2。2])；
title('输入序列')；
subplot(2，1,2）；
m = 0：(30＊L/M)—1；
stem(m，y(1:30＊L/M）)；
axis（[0 (30*L/M)-1 -2.2 2。2］）；
title(’输出序列’）；
输入不同的过采样因子和欠采样因子就可以得到不同的输出。图4。13给定的是其中一种输出结果。

图5－13 信号的两速率采样
2. 程序设计实验
设计一模拟信号：x(t）=3sin(2π·f·t）。采样频率为5120Hz,取信号频率f=150Hz(正常采样）和f=3000Hz(欠采样）两种情况进行采样分析.
实验程序：
clf;
t = 0：0.0000005:0。02;
f1= 150；
f2=3000；
xa1= 3＊sin（2*pi＊f1＊t)；
xa2= 3*sin(2＊pi＊f2*t);
fs=5120；
T = 1/fs;
nn1= -1：T:1;
nn2= -1:T：1;
xs1=3＊sin(2*pi＊f1*nn1）;
xs2=3＊sin(2*pi＊f2＊nn2）;
k1= 0:length（nn1）-1；
k2= 0:length(nn2）-1;
subplot（3,2,1）
plot(t,xa1);grid
xlabel（'时间， msec'）;ylabel（’幅值’);
title(’连续时间信号 x_｛a1}（t）')；
axis([0 0。02 —3 3］）
subplot3,2,2）
plot（t,xa2）；grid
xlabel(’时间, msec’)；ylabel('幅值')；
title(’连续时间信号 x_｛a2｝(t)’)；
axis(［0 0.001 —3 3])
subplot（3，2,3）；
stem(k1，xs1）；grid;
xlabel（'时间,msec’）;ylabel('幅值’）；
title（'离散时间信号 x1［n］'）;
axis（［0 100 -3 3])
subplot(3，2，4）;
stem(k2,xs2)；grid;
xlabel(’时间，msec’）；ylabel(’幅值');
title’离散时间信号 x2［n]'）;
axis（[0 5 —3 3])
subplot(3,2，5)
N1=length（xs1）；
fx1=fft（xs1）;
df1=fs/N1；
n1=0：N1/2；
f1=n1＊df1;
plot（f1，abs(fx1（n1+1)）*2/N1）; grid；
set(gca,'XTickMode'，’manual',’XTick’,[0，50，100，150，200，250,300］）
set（gca,’YTickMode',’manual’，’YTick’,[1,2,3,4］）
title('离散时间信号 x1［n]和频谱图'）;

axis（[0 300 0 4］）
subplot(3，2，6）
N2=length(xs2）;
fx2=fft(xs2)；
df2=fs/N2;
n2=0:N2/2；
f2=n2＊df2;
plot(f2，abs(fx2（n2+1）)＊2/N2）； grid;
set（gca，’XTickMode','manual'，’XTick'，[100,500，1000，1500,2120，2500])
set(gca，’YTickMode'，’manual’,’YTick'，[1，2,3，4］)
title(’离散时间信号 x2［n]和频谱图’)；
执行后得到如图4。14：

图5－14 两种信号的采样及频谱图
从图4.14中我们可以看出，当正常采样时，频谱图上和原信号频谱一样，冲激点在f=150Hz片，而且采样时，发生了频谱混迭，负频上的-3000Hz搬移到了正频上的2120Hz。

五、实验报告要求
简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号波形和频谱曲线，说明采样频率变化对信号时域和频域特性的影响，总结实验得出的主要结论。参考比较MATLAB版的相应实验,你可以得出哪些结论？
六、思考题
（1）x(t) 若信号频率为5000Hz,请问本实验中的模拟信号采样后的混迭频率是多少Hz ? 分析一200Hz的方波信号，采样频率=500Hz,用谱分析功能观察其频谱中的混迭现象。为什么会产生混迭？
（2）6。 在时域抽样定理中，为什么要求被抽样信号必须是带限信号？如果频带是无限的应如何处理？