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极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
P
E
F
G
H
M
A
N
B
图1
1.从几何角度看极点与极线
定义1如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引
两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接
交于，连接交于，则直线为点对应的极线.
若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.
由图1同理可知，为点对应的极线，为点所
对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线
于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1(1)当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线
在点处的切线；
(2)当在外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，则点的极线是直线(即切点弦所在的直线)；
(3)当在内时，过点任作一割线交于，设在处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹.
P
Q
A
图2
B
l
定理2如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线
的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调
和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.
推论1如图2，设点关于圆锥曲线的调和共轭
点为点，则有②；反之，若有②成立，
则点与关于调和共轭.
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
.
特别地，我们还有
推论2如图3，设点关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点，连线经过圆锥曲线的中心，则有，反之若有此式成立，则点与关于调和共轭.
证明：设直线与的另一交点为，则
P
Q
R
图3
R
O
，化简
即可得反之由此式可推出
，即点与关于调和共轭.
推论3如图4，圆锥曲线的一条
对称轴上的两点(不在上)，若关于调
和共轭，过任作的一条割线，交于
P
l
A
图4
R
B
Q
R
两点，则.
证明：因关于直线对称，故在上存在
的对称点.若与重合，则与
也重合，此时关于对称，有；
若与不重合，则与也不重合，由于
关于调和共轭，故为上完全四点形
的对边交点，即在上，故关于直线
对称，也有.
定理3(配极原则)点关于圆锥曲线
的极线经过点点关于的极线经过点；直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.
事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换，以替换即可得到点的极线方程.
特别地：
(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；
(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；
(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为.
(4)如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线恰为抛物线的准线.
3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题
【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中，．
(1)设动点P满足，求点的轨迹；
(2)设，求点的坐标；
(3)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
x
O
B
A
图5
K
M
N
分析与解：前面两问比较简单，这里从略.
对于(3)，当时，点坐标为，
连，设直线与的交点为，根据
极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，
又点对应的极线方程为，即
，此直线恒过轴上的定点，
从而直线也恒过定点.
【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
B
Q
x
y
O
P
A
.
图6
(2)当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上.
分析与解：(1)易求得答案.
(2)由条件可有，说明点关于
圆锥曲线调和共轭.根据定理2，点的轨迹就是点
对应的极线，即，化简得.
故点总在定直线上.
【例3】(1995全国卷理26)已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.
分析与解：由条件知可知点关于圆锥曲线调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点.
设则与对应的极线方程为
R
Q
x
y
O
P
.
图7
，化简得
③
又直线的方程为，化简得
④
解由③④联立方程组得
A
B
P
O
x
y
图8
F
，消去得，可化为(不同时为)，故点的轨迹是以为中心，长短轴分别为和，且长轴平行于轴的椭圆，但需去掉坐标原点.
【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线
的焦点为，是抛物线上的两动点，且
，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点
为.
(1)证明为定值；
(2)设的面积为，写出的表达式，
并求的最小值.
分析与解：(1)显然，点的极线为，故可设点
，再设，三点对应的极线方程分别为，，，由于三点共线，故相应的三极线共点于，将代入后面两个极线方程得，两式相减得.
又，故.
A
B
P
O
x
y
图9
F
l
(2)设的方程为，与抛物线的极线方程对比可知直线对应的极点为，把代入并由弦长公式得，所以.
显然，当时，取最小值.
【例5】(2005江西卷理22)设抛物线
的焦点为，动点在直线上运动，
过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别
相切于两点.
(1)求的重心的轨迹方程；
(2)证明.
分析与解：(1)设点，
与对比可知直线对应的极点为，为直线上的动点，则点对应的极线必恒过点.
设，可化为，故直线对应的极点为，将直线的方程代入抛物线方程得，由此得，的重心的轨迹方程为
，消去即得
.
(2)设，由(1)知，又，由(1)知，即，所以，，.
.同理.
所以有.
参考文献
【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9
【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月