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2022版高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列学案新人教B版

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第3节　等比数列

一、教材概念·结论·性质重现
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q，那么数列{an}就称为等比数列，其中q称为等比数列的公比，定义的递推公式为＝q(常数)．
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项．因此G2＝xy.

(1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0；
②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数．
(2)“G2＝xy”是“x，G，y成等比数列”的必要不充分条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(3)前n项和公式：
Sn＝

(1)等比数列通项公式与指数函数的关系
等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1还可以改写为an＝·qn，当q≠1且a1≠0时，y＝qx是指数函数，y＝·qx是指数型函数，因此数列{an}的图像是函数y＝·qx的图像上一些孤立的点．
(2)求等比数列前n项和时要对公比q是否等于1进行分类讨论．
3．等比数列的有关性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*.
对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{ban}，，{a}，{an·bn}，，{pan·qbn}和仍然是等比数列(其中b，p，q是非零常数)．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qmk，m∈N*)．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
4．等比数列{an}的单调性
满足的条件
单调性
或
{an}是递增数列
或
{an}是递减数列

{an}是常数数列
q<0
{an}是摆动数列
5．常用结论
(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)
(2)任意两个实数都有等比中项．(　×　)
(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
2．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)
A．5　　　 B．±5　　　
C．4　　　 D．±4
C　解析：因为a＝a3a7＝2×8＝16，所以a5＝±4.
又因为a5＝a3q2＞0，所以a5＝4.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
C　解析：根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27,81　解析：设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)
39　解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，所以an＝2n，
则2n＝8×210＝213，所以n＝13.
即病毒共复制了13次．
所以所需时间为13×3＝39(秒).

考点1　等比数列基本量的运算——基础性

1．已知公比大于0的等比数列{an}满足a1＝3，前三项和S3＝21，则a2＋a3＋a4＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
B　解析：S3＝21＝＝3(1＋q＋q2)，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍)，所以a2＋a3＋a4＝qS3＝2×21＝42.
2．在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.
4或－4　解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
则两式相除，得＝，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
所以或
故a3＝4或a3＝－4.
3．(2019·全国卷Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
　解析：由a＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3，所以S5＝＝.
4．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________.
－3或　解析：(方法一：直接法)因为数列{an}是等比数列，
所以当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝3a3＝.
当q≠1时，由题意可知

解得q＝－或q＝1(舍去)．
所以a2＝＝×(－2)＝－3.
综上可知a2＝－3或.
(方法二：优解法)由a3＝得a1＋a2＝3.
所以＋＝3，
即2q2－q－1＝0，
所以q＝－或q＝1.
所以a2＝＝－3或.

等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
考点2　等比数列的性质及应用——应用性

(1)(2020·宝鸡二模)等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12 B．15
C．8 D．2＋log35
B　解析：因为等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，所以a5a6＝a3a8＝27，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1×a2×a3×…×a10)＝log3(a5a6)5＝5log327＝15.
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
－　解析：由＝，a1＝－1知公比q≠±1，
则可得＝－.
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
故q5＝－，q＝－.

1．本例(1)条件不变， 则a1＋a2＋…＋a10＝________.
30　解析：因为等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，所以a5a6＝a3a8＝27,
所以a1＋a2＋…＋a10
＝ (a1·a2·…·a10)＝ (a1a10)5
＝ (a5a6)5＝315＝2log3315＝30.
2．本例(1)把条件变为“在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 017－a＋2a2 019＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 018＝a2 018”，试求log2(b2 017·b2 019)的值．
解：因为等差数列{an}中a2 017＋a2 019＝2a2 018，所以2a2 017－a＋2a2 019＝4a2 018－a＝0.
因为各项不为零，所以a2 018＝4.
因为数列{bn}是等比数列，
所以b2 017·b2 019＝a＝16，
所以log2(b2 017·b2 019)＝log216＝4.

等比数列性质应用的要点
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．
(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．

设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S5＝8，S10＝7，求a11＋a12＋a13＋a14＋a15的值．
解：因为a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝S15－S10，且S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列，即8，－1，S15－S10成等比数列，所以8(S15－S10)＝1即S15－S10＝，所以a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝.
考点3　等比数列的判定和证明——综合性

考向1　用等比数列的定义证明
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n.
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
(1)证明：因为bn＝an＋n，所以bn＋1＝an＋1＋n＋1.
又因为an＋1＝4an＋3n－1，
所以＝
＝
＝＝4.
又因为b1＝a1＋1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)求解知，bn＝2×4n－1，
所以an＝bn－n＝2×4n－1－n，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2(1＋4＋42＋…＋4n－1)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－
＝(4n－1)－n2－n.

判断或证明一个数列为等比数列时应注意的问题
(1)判断或者证明数列为等比数列最基本的方法是用定义判断，其他方法最后都要回到定义．
(2)判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，但在解答题中不作为证明方法．
(3)若要判断一个数列不是等比数列，只需判断存在连续三项不成等比数列．
考向2　用等比中项法证明等比数列
在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明：因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以＝2，
所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
所以Sn＝－n＝3·2n－n－3.

证明等比数列问题的注意点
(1)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明q≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{an}为等比数列．

1．设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{a}；③{2an}；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
A　解析：{an}为等比数列，设其公比为q，则通项公式为a1qn－1，
所以对于①，数列{2an}是以2a1为首项，以q为公比的等比数列；
对于②，＝q2为常数，又因为a≠0，故②为等比数列；
对于③，＝2an－(an－1)，不一定为常数；
对于④，＝，不一定为常数．
2．(2021·八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
解：(1)由an＋2＝2an＋1＋3an可得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)．
因为各项都为正数，所以a1＋a2>0.所以{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)构造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)，整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan.
所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)．所以an＋1－3an＝－(an－3an－1)＝(－1)2×(an－1－3an－2)＝…＝(a2－3a1)×(－1)n－1＝0.所以an＋1＝3an.所以{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列．所以an＝(n∈N＋)．
3．在数列{an}中，已知an＋1an＝2an－an＋1，且a1＝2(n∈N*)．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设bn＝a－an，且Sn为{bn}的前n项和，试证：2≤Sn＜3.
证明：(1)由an＋1an＝2an－an＋1，得－＝1，
即－＝，所以－1＝.
因为a1＝2，所以－1＝－1＝－≠0，
所以＝，
即数列是等比数列．
(2)因为是等比数列，且首项为－，公比为，
所以－1＝－·n－1＝－n，
则an＝.
所以bn＝a－an＝an(an－1)
＝·＝.
因为b1＝2，bn＝>0，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≥2.
又bn＝＝<＝≤(n≥2)，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn<2＋＋＋…＋＝2＋＝3－<3.
所以2≤Sn＜3.

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝60，则S30＝________.
[四字程序]
读
想
算
思
求S30
1.求和公式；
2．如何确定首项与公比？
等比数列的基本运算
转化与化归
等比数列，
S10＝20，
S20＝60
1.基本量法；
2．性质法
1.列方程组求基本量；
2．利用性质直接求解
1.求和公式；
2．通项公式；
3．和的性质

思路参考：用a1，q表示S10，S20，求q10.
140　解析：设数列{an}的公比为q，因为S20≠2S10，故q≠1.
又S10＝20，S20＝60，
所以
两式相比得q10＝2，
所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140.

思路参考：利用性质＝.
140　解析：由S10＝20，S20＝60，易得公比q≠±1，
根据等比数列前n项和的性质，可得＝，即＝＝1＋q10，解得q10＝2.
又＝，所以＝＝7，S30＝140.

思路参考：利用性质Sn＋m＝Sn＋qnSm.
140　解析：根据等比数列前n项和的性质，可得S20＝S10＋q10S10，即60＝20＋20q10，解得q10＝2，
所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140.

思路参考：利用性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比．
140　解析：根据等比数列前n项和的性质，可知S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即(60－20)2＝20(S30－60)，解得S30＝140.

1．本题考查等比数列的求和问题，解法灵活多变，要注意认真计算或转化．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握运算求解能力、推理能力和转化能力．
3．本题可以从不同的角度解答，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________．
3　解析：由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，
得a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，
所以a4＝3a3，所以q＝＝3.