等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.doc

等差数列及其前n项和
【考纲说明】
1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.
2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3、体会等差数列与一次函数的关系.
4、本部分在高考中占5-10分左右.
【知识梳理】
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。
2、等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或
推广：
3、等差数列通项公式
若等差数列的首项是，公差是，则．
推广：，从而。
4、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和的公式：①；②．
5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
二、等差数列的性质
1、等差数列与函数的关系
当公差时，
(1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为；
(2)前和是关于的二次函数且常数项为0。
2、等差数列的增减性
若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，
若公差，则为常数列。
3、通项的关系
当时,则有，
特别地，当时，则有.
注：
4、常见的等差数列
（1）若、为等差数列，则都为等差数列。
（2）若{}是公差为的等差数列，则，…也成等差数列（公差为）。
（3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。
5、前n项和的性质
设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.
①当项数为偶数时，则

②当项数为奇数时，则

（其中是项数为的等差数列的中间项）
6、求的最值（或求中正负分界项）
（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.
（2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当，由可得达到最大值时的值.
②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.
即当，由可得达到最小值时的值.
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法：
（1）定义法：若或(常数)是等差数列；
（2）等差中项：数列是等差数列；
（3）数列是等差数列（其中是常数）；
（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.
2、等差数列的证明方法：
定义法：若或(常数)是等差数列．
题型一：性质的应用
例1（1）是等差数列，若，，求
（2）是等差数列，是其前项和，若，求

例2（2010山东）已知等差数列满足：，，的前项和为.
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（），求数列的前项和为

题型二：求最值
例3是等差数列，是其前项和，若,求使得最大的的值.

例4是等差数列，，求的最小值.

题型三：证明
例5已知数列，是其前项和，且满足，，求证：是等差数列.

等比数列及其前n项和
重要知识点：
1. 定义：，为数列的公比
2. 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
3. 等比数列的前项和公式：
等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
4.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.
（2）一公比为的等比数列，其和成等比数列，公比为.
(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
(4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝
（答：－1）
(5) 如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列.
4. 等差数列的判定
①定义法：
②等比中项；(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
5. 一些常用公式
①1+2+3 …+n =
②
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…；
5，55，555，….
例1数列中，=4+1 ()且=1，若，求证：数列是等比数列。

例2等比，，设，
（1） 证明等差
（2） 求的前项和和的通项公式、

等差，等比数列练习
1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
2．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3.（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝( )
A． B． C． D．
4．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
5. 设数列，，若以，，，为系数的二次方程：
，(且)都有根、满足。
（1）求证：为等比数列；
（2）求；
（3）求的前项和.