等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.doc

等差数列及其前n项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【知识梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差通常用字母d表示。2、等差中项 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或推广：3、等差数列通项公式 若等差数列的首项是，公差是，则 推广：，从而。4、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的公式：；5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差时， (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为； (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。 2、等差数列的增减性 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列， 若公差，则为常数列。 3、通项的关系 当时,则有， 特别地，当时，则有.注： 4、常见的等差数列 （1）若、为等差数列，则都为等差数列。 （2）若是公差为的等差数列，则，也成等差数列（公差为）。 （3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。 5、前n项和的性质 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.当项数为偶数时，则 当项数为奇数时，则 （其中是项数为的等差数列的中间项）6、求的最值（或求中正负分界项）（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.（2）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 即当，由可得达到最大值时的值.“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和. 即当，由可得达到最小值时的值.三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若或(常数)是等差数列；（2）等差中项：数列是等差数列；（3）数列是等差数列（其中是常数）；（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.2、等差数列的证明方法：定义法：若或(常数)是等差数列题型一：性质的应用例1（1）是等差数列，若，求 （2）是等差数列，是其前项和，若，求例2（2010山东）已知等差数列满足：，的前项和为. （）求及； （）令（），求数列的前项和为.题型二：求最值例3是等差数列，是其前项和，若,求使得最大的的值.例4是等差数列，求的最小值.题型三：证明例5已知数列，是其前项和，且满足，求证：是等差数列.等比数列及其前n项和重要知识点：1. 定义：，为数列的公比2. 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）3. 等比数列的前项和公式：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。4.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.（2）一公比为的等比数列，其和成等比数列，公比为.(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）(5) 如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列.4. 等差数列的判定定义法：等比中项；(，)注：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.ii. （ac0）为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. 为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. 且为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.5. 一些常用公式1+2+3 +n = 注：熟悉常用通项：9，99，999，； 5，55，555，.例1数列中，=4+1 ()且=1，若，求证：数列是等比数列。例2等比，设，（1） 证明等差（2） 求的前项和和的通项公式、 等差，等比数列练习1（01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D3.（06全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( )A B C D4（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项5. 设数列，若以，为系数的二次方程：，(且)都有根、满足。（1）求证：为等比数列；（2）求；（3）求的前项和.