高中数学必修3第三章章末检测试卷三.doc

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．下列函数不存在零点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点　函数零点的概念
题点　判断函数有无零点
答案　D
解析　分别令y＝0，A，B，C均有解；
对于D或无解．
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)
A．1,2,3 B．1，－1,3
C．1，－1，－3 D．无零点
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　B
解析　令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.
3．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　A
解析　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．

可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
4．已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　f(0)＝20－5＜0，f(1)＝21＋－5＜0，f(2)＝22＋－5＜0，f(3)＝23＋－5＞0，f(4)＝24＋1－5＞0，则有f(2)·f(3)＜0.故选C.
5．若函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜－3
B．－＜a＜－
C．－3＜a＜－
D．－＜a＜－
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　C
解析　∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上单调递增，∴函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，∴由零点存在性定理可得f ·f(1)＜0，
即(－a＋2a＋3)(4a＋3)＜0，
解得－3＜a＜－.
6．某企业2017年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2017年度产值的月平均增长率为(　　)
A. B.－1
C. D.
考点　建立函数模型解决实际问题
题点　对数函数模型的应用
答案　B
解析　设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
7．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
答案　B
解析　根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.
8．今有一组数据，如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11

下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的是(　　)
A．指数函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．二次函数
考点　函数拟合问题
题点　函数拟合问题
答案　C
解析　由表中数据知，随着自变量x每增加1，函数值y约增加2，所以一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．
9．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)
A．19 B．20 C．21 D．22
考点　函数模型的应用
题点　指数、对数函数模型的应用
答案　C
解析　操作次数为n时的浓度为n＋1，
由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.
10．(2018·舟山中学考试)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点　
题点　
答案　B
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
考点　三种函数模型增长的差异
题点　三种函数模型增长速度的差异
答案　y＝x2
解析　y＝x2＝x·x，y＝x·ln x，其中y＝x比y＝ln x在(1，＋∞)上增长较快，也可取特殊值验证．
12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(e)＝________，函数y＝f(f(x))－1的零点有________个．(用数字作答)
答案　1　3
解析　f(e)＝ln e＝1；函数y＝f(f(x))－1的零点个数为方程f(f(x))＝1的根的个数，
则①由ln x＝1(x≥1)，得x＝e，于是f(x)＝e
则由ln x＝e(x≥1)，得x＝ee；或由ef(|x|＋1)＝e(x＜1)，得f(|x|＋1)＝1，所以ln(|x|＋1)＝1，
解得x＝e－1(舍去)或x＝1－e；
②由ef(|x|＋1)＝1(x＜1)，得f(|x|＋1)＝0，
所以ln(|x|＋1)＝0，解得x＝0，
所以f(x)＝0，只有ln x＝0(x≥1)，解得x＝1.
综上可知，函数y＝f(f(x))－1共有3个零点．
13．(2018·宁波市期末)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0，f(x)＝2x，且关于x的方程[f(x)]2－4f(x)＋a＝0在R上有三个不同的实数根，则f(－1)＝________，a＝________.
考点　
题点　
答案　2　3
解析　由偶函数的性质可得：f(－1)＝f(1)＝21＝2，
关于x的方程[f(x)]2－4f(x)＋a＝0在R上有三个不同的实数根，方程的根为奇数个，结合f(x)为偶函数可知x＝0为方程的一个实数根，而f(0)＝20＝1，则12－4×1＋a＝0，∴a＝3.
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　(－2,2)
15．已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四种说法：
①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F(m)－F(n)＜0成立；④当a＞0时，函数y＝F(x)－2有4个零点．其中正确说法的序号是________．
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的综合应用
答案　②③④
解析　①易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F(m)－F(n)＝－alog2m＋1－(－alog2n＋1)＝a(log2n－log2m)＜0；④当a＞0时，F(x)＝2可化为f(|x|)＝2，即a|log2|x||＋1＝2，即|log2|x||＝，故|x|＝或|x|＝，故函数y＝F(x)－2有4个零点，故②③④正确．
16．(2018·金华十校考试)已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝lg(x2－x＋1)，则x∈时，f(x)＝________，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为________．
考点　
题点　
答案　－lg(x2＋x＋1)　5
解析　(1)当x∈时，－x∈，
∴f(－x)＝lg(x2＋x＋1)，
又函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(x2＋x＋1)．

故当x∈时，f(x)＝－lg(x2＋x＋1)．
(2)当x∈时，令f(x)＝lg(x2－x＋1)＝0，得x2－x＋1＝1，即x2－x＝0，
解得x＝1，即f(1)＝0，
又函数为奇函数，故可得f(－1)＝f(1)＝0，且f(0)＝0.
∵函数y＝f(x)是以3为周期的函数，
∴f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝0，f(3)＝f(0)＝0.
又f ＝f ＝f ＝－f ，
∴f ＝0.
综上可得函数f(x)在区间[0,3]上的零点为0,1，，2,3，共5个．
17．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是___________________________．
答案　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)
解析　(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示．

由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使函数f(x)恰有2个零点，
需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；
当a＜1时，要使函数f(x)恰有2个零点，
需满足
解得≤a＜1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
三、解答题(本大题共5小题，共74分)
18．(14分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
证明　令g(x)＝f(x)－x＝x3－x2－x＋.
∵g(0)＝，g＝－，∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
19．(15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型的应用
解　(1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答　老张的销售利润是39万元．
20．(15分)已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　一元二次方程根的分布综合问题
解　(1)当m＝0时，由f(x)＝0，得x＝，符合题意，
(2)当m≠0时，
①由Δ＝9－4m＝0，得m＝，
令f(x)＝0，解得x＝，符合题意；
②Δ＞0，即9－4m＞0时，m＜.
设f(x)＝0的两根为x1，x2且x1＜x2，
若0＜m＜，则x1＋x2＝＞0，
x1·x2＝＞0，
即x1＞0，x2＞0，符合题意，
若m＜0，则x1＋x2＝＜0，
x1·x2＝＜0，
即x1＜0，x2＞0，符合题意，
综上可知m≤，即m的取值范围为.
21．(15分)用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)亿元和生产成本投入x亿元的关系．统计表明，当每季度投入1亿元时，利润y1＝1亿元，当每季度投入2亿元时，利润y2＝2亿元，当每季度投入3亿元时，利润y3＝2亿元．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a，使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4亿元时利润y4亿元的值．
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型的综合应用
解　(1)当b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
所以当a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
22．(15分)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的个数问题
解　当x≤0，即2x－1≤x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，

所以