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七上册第二章有理数.doc

1、上课日期时间学生姓名王文立上课类型(1对1)教师汪慧影教室(class5)课题:有理数及其运算教学目标:1、掌握正数、负数的概念。 2、会计算一个数的相反数、绝对值以及倒数。 3、掌握有理数的运算法则。 4、会运用有理数解决实际问题。教学重点:1、正数、负数的判别方法。 2、有理数的两种分类方法。 3、绝对值、相反数的计算。 4、数轴的三要素。 5、有理数的加减、乘除运算法则。 6、科学计数法教学难点:1、正数、负数的判别。 2、绝对值的计算。 3、有理数的运算法则。教学过程:一、数的扩充:数1,2,3,4,叫做正整数;1,2,3,4,叫做负整数;正整数、负整数和零统称为整数;数,8,+5.6

2、,叫做正分数;,3.5,叫做负分数;正分数和负分数统称为分数;整数和分数统称为有理数。二、有理数的分类不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类:先将有理数按“整”和“分”的属性分,再按每类数的“正”、“负”分,即得如下分类表:先将有理数按“正”和“负”的属性分,再按每类数的“整”、“分”分,即得如下分类表:注:“0”也是自然数。“0”的特殊性。把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集(set of number)。所有正数组成的集合,叫做正数集合;所有负数组成的集合叫做负数集合;所有整数组成的集合叫整数集合;所有分数组成的集合叫分数集合;所有有理数组成的集合叫有理数集合;所有正整数和零组

3、成的集合叫做自然数集。三、数轴定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。例1:判断下图中所画的数轴是否正确?如不正确,指出错在哪里?例2:把下面各小题的数分别表示在三条数轴上: (1)2,-1,0,+3.5 (2)5,0,+5,15,20; (3)1500,500,0,500,1000。分析:要在数轴上表示数,首先要正确画出数轴,标明原点、正方向(一般从左到右为正方向)和单位长度这三要素,然后再表示数,注意:(1)数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上

4、的点建立了对应关系,它揭示了数与形之间的内在联系;所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数;(2)画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取,注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列顺序(尤其是负数)要正确。(3)比较有理数大小法则是:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置,然后用“”号连接,这种方法比较直观,但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律,即正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,则比较更方便些。四、相反数 象这样只有

5、符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。理解:代数定义:只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。几何定义:在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。说明:“互为相反数”的含义是相反数,是成对出现的,因而不能说“6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数,也不是负数,它到原点的距离就是0,这是相反数等于它本身的唯一的数。例3:判断下列说法是否正确:5是5的相反数; ( ) 5与5互为相反数; ( ) 5是相反数; ( )正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。例4:(1)分别写出5、7、3

6、、+11.2的相反数;(2)指出2.4各是什么数的相反数。注意:(1)只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点; (2)相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数,单独一个数不能被称为相反数,相反数是成对出现的;(3)正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“”的功能是对一个数的符号予以改变。五、绝对值(1)我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value )。记作|a|。例如,在数轴上表示数6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以6和6的绝对值都是6,

7、记作|6|=|6|=6。同样可知|4|=4,|+1.7|=1.7。概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点?在原点左边的点表示的数(负数)的绝对值又有什么特点?由学生分类讨论,归纳出数a的绝对值的一般规律: 1. 一个正数的绝对值是它本身;2. 0的绝对值是0;3. 一个负数的绝对值是它的相反数。即:若a0,则|a|=a; 若a0,则|a|=a;若a=0,则|a|=0; 或写成:。(2)绝对值的非负性:由绝对值的定义可知:不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数),绝对值具有非负性,即|a|0。例5:求下列各数的绝对值:,4

8、.75,10.5例6: 化简:(1); (2)。解:(1) ; (2) 。分析:求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,然后由绝对值的性质得到。在(3)中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。注意:(1)对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑,从几何方面看,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,它具有非负性;从代数方面看,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。(2)求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。 例7:比较下列各对数的大小:0.3与; 与0; 与解:(1)这是两个负数比较大小,|0.3|=0.3,且 0.

9、3 , 。 说明:要求学生严格按此格式书写,训练学生逻辑推理能力;注意符号“”、“”的写法、读法和用法;对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行;异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。 六、有理数的运算(1)有理数的加法法则:1. 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;2. 绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3. 互为相反数的两个数相加得0;4. 一个数同0相加,仍得这个数.注意:一个有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。例8:计算:(+20)+(+

10、12); ; (3.4)+4.3。 (-7)+(+7)(+7)+0加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。即 a + b = b + a加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )这样,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可先把其中的几个数相加,使计算简化。例9:计算:(1) (+26)+(18)+5+(16); (2) 。三个以上的有理数相加,可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置,简化运算。常见技巧有:(1)凑零凑整:互为相反数的两个数结合先加;和为整数的加数结合先加;(2)同号集中:

11、按加数的正负分成两类分别结合相加,再求和;(3)同分母结合:把分母相同或容易通分的结合起来;(4)带分数拆开:计算含带分数的加法时,可将带分数的整数部分和分数部分拆开,分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。 (2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。如果用字母 a、b表示有理数,那么有理数减法法则可表示为:a b = a +(b)。例10:计算:(1)(32)(+5); (2)7.3(6.8); 注意:(1)由于把减数变为它的相反数,从而减法转化为加法有理数的加法和减法,当引进负数后就可以统一用加法来解决(2)不论减数是正数、负数或是零,都符合有理数减法法

12、则在使用法则时,注意被减数是永不变的。 (3)因为有理数加减法可统一成加法,所以在加减运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便。但要注意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换。(3) 有理数乘法法则:3(2)=? (3)(2)=?一般地,我们有:把一个因数 换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数.综合上面各种情况,引导学生自己归纳出有理数乘法的法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0例11:计算:(5)(6) 有理数乘法运算律:总结:让学生总结出乘法的交换律、结合律。乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变。即 a b =

13、b a乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。即(ab)c=a(bc) 根据乘法交换律和结合律可以推出:三个以上有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。即a(bc)abac. 例12:计算:(10) 0.16。 例13:计算:4(8)+(5)(8)+16; 。解:原式=24(4)有理数除法倒数的概念:乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal)。例14: (1) ; (2) ; (3) 。解:原式=;原式=;原式=这样,对有理数除法,一般有有理数除法则:除

14、以一个数等于乘上这个数的倒数.注意:0不能作除数. 探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则:因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.(1) ()(); (2) ; (3)。(5)有理数的乘方一般地,我们有:n个相同的因数a 相乘,即,记作。例如,22223;(2)(2)(2)(2)(2)4。这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方(involution),乘方的结果叫做幂(power)。在an中,a叫作底数,n叫做指数,an 读作a的n次方,an看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。例如,

15、23中,底数是2,指数是3,23读作2的3次方,或2的3次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是81,通常指数为1时省略不写。当a0时,an0(n是正整数); 当a0时,;当a=0时,an=0(n是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则)a2n=(a)2n(n是正整数);=(a)2n-1(n是正整数);a2n0(a是有理数,n是正整数)。七、科学记数法(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。如:100=1100=1102;600=61000=6103;7500=7;51000=7.5103。 (2)科学记数法定义:一般地,把一个大于10的数记成a的

16、形式,其中a 是整数数位只有一位的数(即1a10),n是正整数,这种记数法叫做科学记数法。例15:用科学记数法记出下列各数:(1)696 000; (2)1 000 000; (3)58 000; (4)7 800 000。八、有理数的混合运算(1)定义:含有有理数的加减乘除乘方多种运算,称为有理数的混合运算。2有理数混合运算的运算顺序规定如下:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,按照从左至右的顺序进行;如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。 注意:加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。 例16:计算:解:

17、原式。这里要注意三点:小括号先算;进行分数的乘除运算,一般要把带分数化为假分数,把除法转化为乘法;同级运算,按从左往右的顺序进行,这一点十分重要。例17:计算:分析:揭示思路:本例按常规运算顺序,应先算小括号里的减法,运算较繁,观察算式中的数字特征,可发现首尾两数互为倒数,根据这一迹像,抓住算式的结构特点及数与数之间的关系,利用运算定律,适当改变运算顺序,可得如下新颖解法:解原式=83=5九、近似数和有效数字概括:一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。有效数字:这时,从左边第一个不是0的数起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant

18、 digits)。象上面我们取1.667为的近似数,它精确到千分位(即精确到0.001),共有4个有效数字1、6、6、7。 例18:下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?(1)132.4; (2)0.0572; (3)2.40万解:(3)2.40万精确到百位,共有3个有效数字2、4、0。注意:由于2.40万的单位是万,所以不能说它精确到百分位.。例2:用四舍五入法,按括号中的要求把下列各数取近似数。(1)0.34082(精确到千分位); (2)64.8 (精确到个位); (3)1.504 (精确到0.01);(4)0.0692 (保留2个有效数字); (5)3054

19、2 (保留3个有效数字)。注意:(1)例2的(3)中,由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同,不能随便把后面的0去掉;(2)例2的(5)中,如果把结果写成30500,就看不出哪些是保留的有效数字,所以我们用科学记数法,把结果写成3.05104。(3)有一些量,我们或者很难测出它的准确值,或者没有必要算得它的准确值,这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数,有时近似数也并不总是按“四台五入”法得到的。十、用计算器进行数的简单运算例1:用计算器求34521.3。用计算器进行四则运算,只要按算式的书写顺序按键,输入算式,再按等号键,显示器上就显示出计算结果。课后练习:单科集训P34填空、计算教学反思:8 / 8

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