菱形的性质与判定学案(无答案).doc

菱形的性质与判定
复习回顾：
平行四边形的性质：
1. 从对称性的角度想：平行四边形______（填“是”或“不是”）中心对称图形，____________________
是它的对称中心．
2. 从边的角度想：平行四边形的对边____________________．
3. 从角的角度想：平行四边形的对角__________．
4. 从对角线的角度想：平行四边形的对角线__________．

围绕上面知识回顾，填空：
1．若四边形ABCD是平行四边形，则有AB∥_____，AD∥_____．
2．如图，在平行四边形ABCD中
（1）若AB=4cm，则CD=______cm．
（2）∠ABC=60°，则∠D=_________°，∠BCD=_________°．

知识要点：
1．菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．
2．菱形的性质：
（1）对边平行，四边相等．
（2）对角相等，邻角互补．
（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．
A
B
C
D
1
2

边学边练：
（1）下列语句中，错误的是（ ）
A．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
（2）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半．
同平行四边形的学习一样，我们也可以从边、角、线（即对角线）三个角度理解、记忆菱形的性质．

【典型例题】
例1：如图已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm,BD=12cm,求
（1）菱形ABCD的面积；（2）菱形ABCD的边长；（3）菱形ABCD的高．
D
C
A
B
O

变式练习：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm , BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长．

例2：菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，（1）求菱形ABCD的对角线的长；
（2）求菱形ABCD的面积；（3）求一组对边的距离．

变式练习：已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长．

例3．如图四边形ABCD是菱形，F是AB上的一点，DF交AC于E．
求证：AFD=CBE．

B
F
A
D
C
E

变式练习：已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，
求证：AE=AF．

【巩固练习】
一、填空题
1. 菱形ABCD中，对角线 AC = 6，BD = 8，则菱形的边长为 ．
2. 菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______．
3. 菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 cm，边长为 cm，高为 cm．
二、选择题
4. 不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A、AB = CD，AD = BC B、AB∥CD，AB = CD
C、AD∥BC，AB = CD D、AB∥CD，AD∥BC
5. 在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）
第5题图
A．75° B．60° C．45° D．30°
第6题图

6. 如图，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2

菱形的判定

【知识要点】
A
B
C
D
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
数学语言：∵四边形ABCD是____________，且________________
∴四边形ABCD是菱形．

（2）对角线互相垂直的平行四边形．
A
B
C
D

数学语言：∵四边形ABCD是____________，且________________
∴四边形ABCD是菱形．

（3）四条边都相等的四边形．
．
数学语言：∵AB=CD=_________=__________
∴四边形ABCD是菱形．

边学边练：
1． 判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
（3）邻角相等的四边形是菱形．
（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．
（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．
（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．
（7） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
2． 能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相平分 D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角

3．下列命题正确的是（ ）
A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【典型例题】
例1：如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．

变式练习：
如图AD是△ABC的角平分线，DE//AC,交AB于点E，DF//AB，交AC于点F，证明：AD⊥EF.

例2： 如图□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=5，AO=4，BO=3，求证□ABCD是菱形．

变式练习：如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC、AD于点E、F，
求证：四边形AECF是菱形．
B
A
C
D
E
F

 【巩固练习】
1. 有一组邻边相等的 是菱形，对角线 的四边形是菱形．
2. 若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图，其他三边长为________；周长为________．
3. 下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ）
A．已知菱形的两条对角线 B．已知菱形的一边和一个内角
C．已知菱形的四条边 D．已知菱形的周长和面积
4. 如图在四边形ABCD中，点E、F是对角线上BD的两点，且BE=DF．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？

家庭作业：
1． 菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm,则另一条对角线的长是（ ）
A．4 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
2．菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）
A．168 cm2 B．336 cm2 C．672 cm2 D．84 cm2
3．菱形的一个内角等于，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为 cm．
4． 如图，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=10，则BD=_______，AC=_______，菱形ABCD的面积=________．

5．如图DE是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于F．
求证：（1）四边形AEFD是菱形．（2）如果，AD=5，求菱形AEFD的面积．
D
F
C
B
E
A

6． 如图所示，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于F交AB于M．
求证：M为AB的中点．

7． 如图AD是△ABC的角平分线，DE//AC，交AB于点E，DF//AB，交AC于点F，
求证：AD⊥EF

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