天津市2013届高三数学总复习之综合专题：圆锥曲线(理)(教师新版).doc

圆锥曲线（理）考查内容：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质，直线的方 程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想，考查运算和推理能力。1、长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且为常数且。（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；（2）当时，已知直线与原点的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围。解：（1）设、，则，由此及，得，即；当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；当时，方程的轨迹是焦点为以点为圆心，为半径的圆。（2）设直线的方程：，据题意有，即。由，得，因为直线与椭圆有公共点，所以，又把代入上式得：。2、已知椭圆经过点，两个焦点为。（1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。解：（1）由题意，可设椭圆方程为，在椭圆上，解得，（舍）椭圆的方程为。（2）设的方程为：，代入得：，设，点在椭圆上，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式以代，可得直线的斜率，即直线的斜率为定值。3、设、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（1）依题易知，所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1。（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或；又，即，；故有或。4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形是正方形，且两准线间的距离为4。（1）求该椭圆的方程；（2）若直线过点，且与椭圆交于不同的两点，当面积取得最大值时，求该直线的方程，并求出面积的最大值。5、已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点。（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值。解：（1）设直线的方程为，由可得。设，则，可得，设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得。可得，又，所以。 （2）设椭圆上焦点为，则所以的面积为，；设，则，可知在区间单调递增，在区间单调递减。所以，当时，有最大值。所以，当时，的面积有最大值。6、已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两准线间的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（1）设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是。（2）依题意， 直线的斜率存在且不为0，记为，则直线的方程是设点关于直线的对称点为则解得，因为点在椭圆上，所以即设则因为，所以，于是，当且仅当上述方程存在正实根，即直线存在，解得所以，即的取值范围是。7、设椭圆，过点，且左焦点为。（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点总在某定直线上。解析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。解：（1）依题：解得，所求椭圆方程为。（2）设点，由题设知均不为零，记，则且。又四点共线，从而。于是，。从而.；. 又点在椭圆上，即，并结合，得，即点总在定直线上。8、椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程。（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明。解：（1）椭圆的方程为，离心率（2）解：由（1）可得设直线的方程为由方程组，得依题意得设则.，.由直线的方程得于是.由得从而所以直线的方程为或（3）证明：。由已知得方程组，注意，解得，因为，故。而，所以。9、已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。（1）求双曲线的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。解：（1）设双曲线的方程为，由题设得解得，所以双曲线的方程为；（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将式代入式，得，整理得，此方程有两个不等实根，于是，且，整理得.由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线的方程为，此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得，整理得，将上式代入式得，整理得，解得或，所以的取值范围是。10、在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。11、已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值。解：（1）椭圆的方程为。12、已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点，在的外接圆上，求的值。解：（1）依题意，整理，得，故离心率；（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为设直线的方程为，即由已知设，则它们的坐标满足方程组消去整理，得，依题意，而.，. 由题设知，点为线段的中点，所以.联立解得，将代入中，解得；（3）由（2）可知当时，得，由已知得线段的垂直平分线的方程为，由题可知，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为；直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得，故，当时，同理可得。13、设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，原点到直线的距离为。（1）证明；（2）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程。（1）证明：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有，即，得从而得到，直线的方程为，整理得，由题设，原点到直线的距离为即，将代入上式并化简得即（2）设点的坐标为。当时，由知，直线的斜率为所以直线的方程为或其中点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得于是 .由式得 .由知，将式和式代入得，将代入上式，整理得当时，直线的方程为点，的坐标满足方程组，所以由知即解得这时，点的坐标仍满足，综上，点的轨迹方程为。- 14 - / 14