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圆锥曲线（理）
考查内容：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质，直线的方
程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数
形结合的思想，考查运算和推理能力。
1、长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且为常数且。
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；
（2）当时，已知直线与原点的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围。
解：（1）设、、，则，由此及，得，即；
①当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；
②当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；
③当时，方程的轨迹是焦点为以点为圆心，为半径的圆。
（2）设直线的方程：，据题意有，即。
由，得，因为直线与椭圆有公共点，所以，又把代入上式得：。
2、已知椭圆经过点，两个焦点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。
解：（1）由题意，可设椭圆方程为，
∵在椭圆上，∴，解得，（舍）
∴椭圆的方程为。
（2）设的方程为：，代入得：
，设，，
∵点在椭圆上，∴，
又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式以代，
可得
∴直线的斜率，
即直线的斜率为定值。
3、设、分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解：（1）依题易知，所以，设，
则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值—2
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1。
（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或；
又，，即，∴；
故有或。
4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形是正方形，且两准线间的距离为4。
（1）求该椭圆的方程；
（2）若直线过点，且与椭圆交于不同的两点，当面积取得最大值时，求该直线的方程，并求出面积的最大值。
5、已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点。
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值。
解：（1）设直线的方程为，由可得。
设，则，，
可得，
设线段中点为，则点的坐标为，
由题意有，可得。
可得，又，所以。
（2）设椭圆上焦点为，则
所以的面积为，；
设，则，可知在区间单调递增，在区间单调递减。所以，当时，有最大值。
所以，当时，的面积有最大值。
6、已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两准线间的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。
解：（1）设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是。
（2）依题意， 直线的斜率存在且不为0，记为，则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得，因为点在椭圆上，所以
即
设则
因为，所以，于是，当且仅当
上述方程存在正实根，即直线存在，解得
所以，即的取值范围是。
7、设椭圆，过点，且左焦点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点总在某定直线上。
解析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。
解：（1）依题：解得，所求椭圆方程为。
（2）设点，由题设知均不为零，
记，则且。
又四点共线，从而。
于是，。
从而...①；...②
又点在椭圆上，即③，④
①②并结合③，④得，即点总在定直线上。
8、椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程。
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明。
解：（1）椭圆的方程为，离心率
（2）解：由（1）可得设直线的方程为
由方程组，得
依题意得
设则......①，......②
由直线的方程得
于是......③
......④
由①②③④得从而
所以直线的方程为或
（3）证明：。由已知得方程组
，注意，解得，
因为，
故。
而，所以。
9、已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。
（1）求双曲线的方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。
解：（1）设双曲线的方程为，
由题设得解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将①式代入②式，得，
整理得，
此方程有两个不等实根，于是，
且，
整理得......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，
从而线段的垂直平分线的方程为，
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，
由题设可得，整理得，，
将上式代入③式得，
整理得，，
解得或，
所以的取值范围是。
10、在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。
11、已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值。
解：（1）椭圆的方程为。
12、已知椭圆的两个焦点分别为，
过点的直线与椭圆相交与两点，且。
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线的斜率；
（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点，，在的外接圆上，求的值。
解：（1）依题意，整理，得，故离心率；
（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为
设直线的方程为，即
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去整理，得，
依题意，，
而......①，...... ②
由题设知，点为线段的中点，所以......③
联立①③解得，，将代入②中，
解得；
（3）由（2）可知
当时，得，由已知得
线段的垂直平分线的方程为，
由题可知，直线与轴的交点是外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为；
直线的方程为，于是点的坐标满足方程组
，由解得，故，
当时，同理可得。
13、设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为。
（1）证明；
（2）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程。
（1）证明：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有，即，得
从而得到，直线的方程为，
整理得，
由题设，原点到直线的距离为即，
将代入上式并化简得即
（2）设点的坐标为。
当时，由知，直线的斜率为
所以直线的方程为或
其中
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得
于是 .......③
由①式得
......④
由知，将③式和④式代入得
，将代入上式，整理得
当时，直线的方程为点，的坐标满足方程组
，所以
由知即解得
这时，点的坐标仍满足，
综上，点的轨迹方程为。
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