7高考数学一轮复习分层限时跟踪练47.doc

分层限时跟踪练(四十七)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·兰州双基考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32
【解析】　设抛物线的准线方程为x＝－(p＞0)，
所以＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
【答案】　B
2．(2015·四川绵阳二诊)抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　∵抛物线y2＝2x上一点M(x，y)到它的焦点F的距离为，∴x＋＝，∴x＝1.当x＝1时，y＝±，∴△OFM的面积为××＝.故选B.
【答案】　B
3．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【解析】　双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于e＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点为，由题意＝2，则p＝8，所以C2的方程为x2＝16y.
【答案】　D
4．(2015·洛阳统考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于AB两点，若|AF|＝5，则|BF|＝(　　)
A. B．1
C. D．2
【解析】　由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋1＝5，解得x1＝4，y＝4x1＝16，由对称性，不妨取y1＝4，所以直线AB：y＝x－，代入抛物线方程得4x2－17x＋4＝0，∴x1＝4，x2＝，∴|BF|＝x2＋1＝.
【答案】　C
5．(2015·九江一模)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(　　)
A. B. C. D．3
【解析】　设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4，直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，联立方程解得B(1，－2)，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，∴λ＝3.
【答案】　D
二、填空题
6．(2015·陕西高考)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.
【解析】　抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.
【答案】　2
7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若点A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝_
【解析】　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1.焦点F(1,0)，又A到准线的距离为4，
∴xA＋1＝4，∴xA＝3.∵xAxB＝＝1，∴xB＝，
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.
【答案】　
8．(2015·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
【解析】　由题意，从点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形知|MA|＋|MM1|的最小值为圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于5.因此|MA|＋|MF|的最小值为5.
【答案】　5
三、解答题
9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解】　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，
从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.

图8­7­4
10．(2015·福建高考)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解】　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1,0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

1．(2015·成都模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的最小值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过P作PN垂直x＝－1于N，

由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，
在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，当＝最小时，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，＝＝cos∠NPA＝，
故选B.
【答案】　B
2．已知F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A、B两点，且|RA|＝|RB|，|FA|＋|FB|＝5，则直线l的斜率为(　　)
A. B．1 C．2 D.
【解析】　依题意知|FA|＋|FB|＝2＝5，解得p＝1，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则y＝2x1，y＝2x2，两式相减并整理得＝＝＝1，∴kAB＝1.
【答案】　B
3．已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为．
【解析】　由于P、Q为抛物线x2＝2y上的点，且横坐标分别为4，－2，则P(4,8)，Q(－2,2)，从而在点P处的切线斜率k1＝4，由点斜式得曲线在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，同理在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)．联立这两个直线方程，可解得交点A的纵坐标为－4.
【答案】　－4
4．(2015·绵阳诊断)已知A是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方)，若|AB|＝2|AF|，则点A的坐标为______________________________________________________．
【解析】　依题意，①若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|＝2|AF|＝2|AA1|，∠BAA1＝60°，直线AF的倾斜角为120°.
又点F(1,0)，因此直线AF的方程为y＝－(x－1)．
由得
此时点A的坐标是.
②若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0)是线段AB的中点，又点B的横坐标是－1，故点A的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y＝－＝－2，点A的坐标是(3，－2)．
综上所述，点A的坐标是(3，－2)或.
【答案】　(3，－2)或
5．如图8­7­5，已知直线与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，且点D的坐标为(3，)．

图8­7­5
(1)求p的值；
(2)若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求|MD|＋|MF|的最小值．
【解】　(1)设A，B，kOD＝，则kAB＝－，直线AB的方程为y－＝－(x－3)，即x＋y－4＝0，将x＝代入上式，整理得y2＋2py－8p＝0，∴y1y2＝－8p，由OA⊥OB得＋y1y2＝0，即y1y2＋4p2＝0，∴－8p＋4p2＝0，又p＞0，则p＝2.
(2)由抛物线定义知|MD|＋|MF|的最小值为D点到抛物线y2＝4x准线的距离，又准线方程为x＝－1，
因此|MD|＋|MF的最小值为4.
6．(2015·湖南高考)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
【解】　(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.

(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±.