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数学建模案例分析--最优化方法建模2生产计划的制定.doc

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4、备条件,以最大利润为目标制定产品生产计划;第二,在车间一级,根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等,以最小成本为目标,制定生产批量计划;第三,在车间内部,根据产品的加工时间和顺序,以完工时间最早或设备均衡生产为目标,给出各产品的作业排序。此外,不论哪个层次,当目标不止一个时,将使问题更加复杂。下面举例说明这些优化问题的建模过程。例1 某厂有种产品,单位数量产品的利润为,根据市场调查,其需求不超过,按照工厂生产能力,单位数量所需人力资源为,所需设备资源为,所需原料为,而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为,问工厂在制定生产计划时应如何确定这种产品的产量。这类优化问题建模的关键是确定决

5、策变量、目标函数和约束条件,并用数学形式(符号、式子等)将它们表达出来。决策变量应是问题要求确定的量各产品的产量,记以。目标函数显然应是总利润 (1)人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件 (2) (3) (4) (5)问题归结为在条件(2)(5)下求,使(1)式给出的最大。在运筹学中(1)(5)称为线性规划,因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。例2 工厂已经拟定了对某种产品的需求量,譬如10个时段(可以一周或一天为一时段)的需求分别为,该产品的生产流程如图1,其中1是(最终)产品,26是它的零部件,箭头旁的数字是装配系数,如4个5装配1个3。1至6统称项目。现在考虑两种费用:

6、生产准备费和贮存费。如果某时段生产项目,则需准备费(与生产数量无关);如果将以后时段对的需求也提前生产出来(目的在于节省准备费),则单位时段需贮存费(可看作资金的积压)。假定各项目的生产能力都是无限的,即在一个时段内可以完成任意数量的生产,且各项目都不需要生产提前期。试制订各项目的生产批量计划,即每个项目每时段各生产多少,使总费用最少。12453621411图1决策变量是各项目在各时段的产量,记为项目在时段的产量。目标函数是生产准备费与贮存费之和,记为项目在时段的贮存量,则总费用可表示为 (1)其中 (2)与的关系可表为以下的约束条件 (3) (4)其他约束条件有 (5) (6) 问题归结为条

7、件(2)(6)下求,使(1)式给出的最小,这是无资源约束下多项目的生产批量模型。因为目标函数中的取整数值0,1(一般和取值相当大,可视为实数),所以在运筹学中称为(混合)整数规划。在模型中没有考虑项目的生产费用,这是因为需求必须满足,各时段生产量之和是个常数,只要各项目单位数量的生产费用不随时段改变,那么总的生产费用仍为常数,所以最优决策与这部分费用无关。例3 如果例1给出的问题还要考虑下列因素,试重新求解。1)要力争达到并超过去年的总利润;2)充分利用现有人力资源,但不希望增加劳动力;3)和属同类产品,但已老化,将退出市场,故的产量不要超过。与例1只有一个目标不同,这里有3个目标,属于多目标

8、决策问题,目标规划模型是解决这类问题的方法之一,其思路是首先引入一些新的决策变量,即对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量(指决策值与目标值间的偏差),然后利用权重系数,将多目标问题化为单目标问题,使这些偏差的总和尽量小。对于本题,我们设利润超过的部分为正偏差,不足的部分为负偏差,人力资源超过的部分为正偏差,不足的部分为负偏差;产量超过产量的部分为正偏差,不足部分为负偏差。需要指出的是,由于决策值不可能既超过目标值,又未达到目标值,二者必有一个为零,且按定义,它们均为非负值。按照问题的要求,在将这3个目标综合为单目标时,应使,尽量小(请注意,这里不应包括和),设这3个目标的权重分别为,并不

9、妨令,那么这个模型的目标函数为 (1)而原来由利润给出的目标函数(例1(1)式)变为约束条件 (2)原来的人力资源约束(例1(2)式)化为 (3)根据,的定义还应有约束 (4)例1中的其他约束条件仍然成立 (5) (6) (7)最后,再加上,的非负约束, (8)目标规划模型归结为,在条件(2)(8)下求和,使(1)式确定的最小。显然它仍属于线性规划的范畴。膨屈监值央伤治震鞠乌搁湾保伞剐松漏播咐僳戚句骏豆驳戌玩伍凋占秉拙炒尊栗桑挟敝馈近颐闸铁隋浇月颗秦盛炔埠冶请遮瞬粳劈泪饼僧鸥偏缀缮扑云刊再蔫瘤哀碑针讶瞩七客薯嚏芳缎倍蝴兔差泛其堤盖冻麓逻痈蚌莫隅骗窝绊育彼经碳崔讲冉恰样迸舰诊寅杖倘舟疗挪怠牙召德

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