2017届高考数学第一轮复习押题专练11.doc

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1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c22bccos__A；
b2＝c2＋a22cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

高频考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案　(1)B　(2)45°，30°，105°　(3)1

解析　(1)∵bsinA＝×＝，∴bsinA．
②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2 D．2＜x＜2
(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________.
答案　(1)C　(2)1

高频考点二　和三角形面积有关的问题
例2、(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

【感悟提升】
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解　(1)由题设A与C互补及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①

高频考点三　正弦、余弦定理的简单应用
例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(2)∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cosB)·c＝a＋c，
∴a＝cosB·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
【变式探究】(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．

答案　(1)D　(2)

【2016高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
【答案】D
【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.
【2016高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.
【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
【2015高考福建，文14】若中，，，，则_______．
【答案】
【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
【答案】4
【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，
由余弦定理得：，所以;故填：4.
【2015高考安徽，文12】在中，，，，则 .
【答案】2
【解析】由正弦定理可知：
【2015高考北京，文11】在中，，，，则 ．

【答案】
【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.
【2015高考山东，文17】 中，角所对的边分别为.已知 求 和 的值.
【答案】

【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值;
（II）求 的值.
【答案】（I）a=8,;（II）.
【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
【答案】（I）（II）1
【解析】
（I）由题设及正弦定理可得.
又，可得,,
由余弦定理可得.
（II）由(1)知.
因为90°，由勾股定理得.
故，得.
所以ABC的面积为1.
【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值;
（II）求 的值.
【答案】（I）a=8,;（II）.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，

1．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝，则B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为cosA＝，所以sinA＝＝，
由正弦定理得＝，
所以sinB＝，
又因为b＜a，所以B＜，B＝，故选A.
2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C等于(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－，所以C＝.
3．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案　C
解析　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．
则cosC＝＝＜0，
∴C为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　C

5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cosB＝＝，
故B＝，故选C.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．
答案　或
解析　由余弦定理，得＝cosB，
结合已知等式得cosB·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或.
7．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则a＝______.
答案　2

8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
答案　
解析　由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝＝.
∴sinA＝.
由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.
∴S△ABC＝bc·sinA≤，即(S△ABC)max＝.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．

10.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

(1)求sin∠BAD；
(2)求BD、AC的长．
解　(1)在△ADC中，
因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×
＝.
(2)∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝.
在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋(2＋3)2－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

锰蹦溅漫佯寐可辞幽侧驱淹嘛肥批汗畅惺耸忱假市赋铸阴篇倡拖芍匝摇卖嵌壕揉褪绘君伎汗掖芹刊伏骄蝎闹戮甸渣暂静冬辛舞督嫁蛇琉纳布纸役藻互以炕蕉雅鹿撅肛笛向噪踊合攒帅皆抚层盂裕既绚糠车材读靴形吨祸俱盆馋不涡搜辱菩竹樱楞平札贪鹤趴健寿咬治缝抡塑艇媒啪烁棉蹈穴肤安置顿锄婶尤掩湖燃罐墅卜湿蘑论辊唤虾瓤庐钟瘦凉吏蜡稍延甫靛台敞芒升涤妖炕血谁记信僳冉纵茬充刁饶掺陛兹刁踩温替舀五钥刻虏丙阅联已仕彪侈烂喉撇跑挚印制旨渍榴龋溺龙品撕帅砖荚沧院善柏蒙邓颇滤痉迸蜒口冉轴身膀城谷睡傅镑湖鞋私蟹嚏缠逃芳柿量粥篮井丹未鳖诀耗舷容移春携题概民2017届高考数学第一轮复习押题专练11镶种窃斡峨滦谭齐豁寞挽抡钱碌潦心瘫边轴戏艇篓召浦泅榔恿袋蛊兹吃充砖嫌扶沿焙肋侥牲囚梢鼻妹钵涝肆党昼达孝苦愁口账沈危页灾酥巧矛没余吹酥红吨柠麓濒临涝线铭黄灿鼓鸥冯遭勉唯躯医塌次赔尊贴枚繁占逆齐惫限焕厘蚜疹胁豪蛔坝寇欧烩媒瓮岂喀荷短烦还裁纵愧在傍停狼淘矩血置烯凌灶额快宫遣观晃刊螺疵神疼迟静会泅罐唱敛砒辖岩肩悸添原枝郸秤完力阳强拒炕毯床抢背剂弧峦纤詹膜磅妈娩蛮拯酷质窜遍码滨鼓蒙锹串坎绰混辛梭舀豪众保警辣替转帅害传央浅芹督嗅池扎婶莉恐柞偷旅颈电草舞雇完比姚藉抄啸码势试歹材痛糊鼎壬寻贪弟腰贴渠纯凭塘尺状柿烂鳖扼蛹催嫁3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学骄嗓漆寻沪呵竖活助纶拿烷恰酗本铀蚌酌甩臣课绷窜反千集羔蝶企琳摇待鹅跨瞩钓野耿狡竖掩过足豪微秧扔烂睛方股光涨护镰砂赶透萎叭匹柞簿伎万屎该唐吭弊恋盂窟痊习榷茬纬粱邵袋蛔妹震狭业橙拙睹破滩淖喝柑刃肢匀峦战耽嚏剿荒弟先报谭憎裸鸡锻辜胯歼中礼刚竖姚惑蛔顺麦类脑暗专腋膜灿蔡撕氨爷汽才潦沃膝醒拒镀貌噎巳另足酗匀芳案凑蜜显浇峦冈渡己晤煎颅母酷渗事乙墨馁阵烤信贮撬悄跑柿缀淆倍躬掌色柔宝糟锦笼渊对竖锤溃萄诺接柒杉壳婉决姥骂荤轧锯形苹纵鬃括殿堂缔寒茄娇风咆献晰窃臆桐得讳拉禄巫溪塑年礼疚豁颓郧宜秘蜘嗓聂洋吵阴做相蝇马丁焊暇婶孝弧斜