2017届高考数学第一轮复习押题专练11.doc

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1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c22bccos__A；
b2＝c2＋a22cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

高频考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案　(1)B　(2)45°，30°，105°　(3)1

解析　(1)∵bsinA＝×＝，∴bsinA<a<b.
∴满足条件的三角形有2个．
(2)由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即2b2＝b2＋c2－2bccosA，
又c2＝b2＋bc，
∴cosA＝，A＝45°，sinB＝，B＝30°，∴C＝105°.
(3)因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.
又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，即＝，
解得b＝1.
【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法
①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．
②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2 D．2＜x＜2
(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________.
答案　(1)C　(2)1

高频考点二　和三角形面积有关的问题
例2、(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

【感悟提升】
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解　(1)由题设A与C互补及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①

高频考点三　正弦、余弦定理的简单应用
例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)已知<cosA，由正弦定理，得<cosA，即sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(2)∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cosB)·c＝a＋c，
∴a＝cosB·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
【变式探究】(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．

答案　(1)D　(2)

【2016高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
【答案】D
【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.
【2016高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.
【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
【2015高考福建，文14】若中，，，，则_______．
【答案】
【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
【答案】4
【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，
由余弦定理得：，所以;故填：4.
【2015高考安徽，文12】在中，，，，则 .
【答案】2
【解析】由正弦定理可知：
【2015高考北京，文11】在中，，，，则 ．
【答案】
【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.
【2015高考山东，文17】 中，角所对的边分别为.已知 求 和 的值.
【答案】

【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值;
（II）求 的值.
【答案】（I）a=8,;（II）.
【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
【答案】（I）（II）1
【解析】
（I）由题设及正弦定理可得.
又，可得,,
由余弦定理可得.
（II）由(1)知.
因为90°，由勾股定理得.
故，得.
所以ABC的面积为1.
【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值;
（II）求 的值.
【答案】（I）a=8,;（II）.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，

1．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝，则B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为cosA＝，所以sinA＝＝，
由正弦定理，得＝，
所以sinB＝，
又因为b＜a，所以B＜，B＝，故选A.
2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C等于(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－，所以C＝.
3．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案　C
解析　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．
则cosC＝＝＜0，
∴C为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　C

5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cosB＝＝，
故B＝，故选C.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．
答案　或
解析　由余弦定理，得＝cosB，
结合已知等式得cosB·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或.
7．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则a＝______.
答案　2

8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
答案　
解析　由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝＝.
∴sinA＝.
由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.
∴S△ABC＝bc·sinA≤，即(S△ABC)max＝.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．

10.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

(1)求sin∠BAD；
(2)求BD、AC的长．
解　(1)在△ADC中，
因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×
＝.
(2)∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝.
在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋(2＋3)2－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．

沁园春·雪 <毛泽东>
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望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
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惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
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薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
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