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空间向量在立体几何解题中的应用
一、空间向量的基础知识
1.向量的直角坐标运算
设=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，则
＋=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；－=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；=a1b1+a2b2+a3b3，
∥Ûa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR )．或， ⊥Ûa1b1+a2b2+a3b3=0．
2.夹角和距离公式　
①夹角公式cos<，>=．
②距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||=．
③向量与坐标关系，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
M为中点时得ＡＢ中点坐标x=，y=，z=．即Ｍ（，，）
由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心Ｇ的公式：
x=，y=，z=．即Ｇ（，，）
3．平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直：
如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作⊥a．
平面的法向量：如果⊥a，那么向量叫做平面a的法向量．
一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量=(xy，z)[或=(x，y，1)或=(x，1，z)，或=(1，y，z)]，在平面a内任选定两个不共线的向量，．由⊥a，得=0且=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到．
例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量和单位法向量0．
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
解：建立空间直角坐标系，如图1，则
D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
设⊥面A1C1D， =(x，y，z)．得⊥，⊥．
又=(1，0，1)，=(0，1，1)．
∴，令z=1 ．
∴=(－1，－1，1)，0==．
二、空间向量在立体几何解题中的应用
(一)空间角
1．异面直线所成的角
设点A，BÎ直线a，C，DÎ直线b，构造向量，．cos<，>=，
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
<，>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．
例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值．
解：如图建立空间直角坐标系D-ACＤ1， D(0，0，0)，Ｄ1(0，0，1)，
C1(0，1，1)，Ａ(1，0，0),C(0，1，0),则0(,,0)
=(，，－1)，=(0，1，1)．
cos<，>
∴异面直线D1O，DC1所成的角余弦值为．
2．线面所成的角
如图，AB为平面的斜线，为平面a的法向量，如果与之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平面a之间所成的角q=－j．即利用向量与求出的是角j，实际上所求的角是q．
j
q
a

B
A
若j为锐角，则q=－j，sinq=cosj；
若j为钝角，则q=－(p－j)=j－，sinq=－cosj．
总之有，sinq=|cos<，>|=
z
x
B
A1
y
E
F
B1
C1
D1
D
C
A
图2
例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，求A1D与平面EFBD所成的角．
解：如图建立空间直角坐标系D-ACＤ1， D(0，0，0)，Ｄ1(0，0，1)，B(1，1，0)C1(0，1，1)，B1 (1，1，1),则 E(0，，1)，F(，1，1)，
设 ⊥面EFBD，=(x，y，z)，得⊥，⊥．
又=(1，1，0)，=(0，，1)．
∴，令y=2 ．
l
∴=(－2，2，－1)，．又=(1，0，1)，
∴sinq =
即q =．则所求的A1D与平面EFBD所成的角为
3．二面角的求法： 二面角a—l—b，平面a的法向量，平面b的法向量．则二面角a—l—b的平面角q =<，>．所以，cos<，>=．
若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，
当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则<，>为二面角的平面角的补角；
当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则<，>为二面角的平面角．
故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角
例4. 在例1中，求二面角D1—AC—D的大小的余弦值．
解：如图建立空间直角坐标系D-ACＤ1， D(0，0，0)，Ｄ1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0)
∵ ⊥面ACD1，=(x，y，z)，得⊥，⊥．

又＝（－1,1,0），＝（－１,0,1）
∴；令∴=(1，1，1)，
由已知可易得平面DAC的法向量是=(0，0，1)，
cos<>,=，
由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为．
练习1： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，且，求：
1) 求直线A1D与AM所成角的余弦值；
2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；
3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.

点到面的距离
线到面的距离
线到线的距离
面到面的距离
(二)空间距离

1．点到面的距离 设A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面a于点B，而是平面a
的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面a的距离为d
q
A
a
B
d

所以d=
例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，
求点B到截面AGC1H的距离．
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
解：如图建立空间直角坐标系D-ACＤ1，D(0，0，0)， C(0，1，0), B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，则H(0，，0)，G(1，，1)，
∵A(1，0，0)， 设⊥面AGG1H，则⊥，⊥
令=(x，y，z)，则=(0，，1)，=(－1，，0)．有：
=0，=0，∴
∴=(1，2，-1)，又=(0，1，0)，
所以点B到截面AGC1H的距离为d=．故所求距离为
练习2：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离．

A
B
C
D

图3
2．异面直线间的距离　　　如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点．　　　　　令向量⊥a，⊥b，则∥．
∵=++，
∴=++×，
∴=，
∴||=||||，∴||=．∴两异面直线a、b间的距离为：d=．
其中与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点．
例6．在例1中，求直线DA1和AC间的距离．
解：=(－1，1，0)，=(1，0，1)．设DA1和AC公垂线段上的向量为=(x，y，z)，
由，即　　　可取=(1，1，－1)，
又=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为d =，
即直线DA1和AC间的距离为．
A
B
C
D
O
S

图4
练习3．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离．

．

3．线面距离　　　直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面a的距离就是直线a与平面a之间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．
4．平面与平面间的距离　　平面a与平面b平行时，其中一个平面a上任意一点到平面b的距离就是平面a与平面b间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．
1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题．
Q
y
P
R
x
z
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题．
例8．在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，
(1)求证：平面A1PQ∥平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离．
解：(1)由前面例题知=(－1，1，0)，=(－1，0，－1)，
=(－1，0，－1)，=(0，－1，－1)，
设，，(l、m、nÎR，且均不为0)
设、分别是平面A1PQ与平面B1RC的法向量，
由即即，可解得：=(1，1，－1)，
由即即，可解得=(－1，1，－1)，
所以=－，∥，　　　　　所以平面A1PQ∥平面B1RC．
如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥Û=0来证明．
(2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
∴=(1，0，1)，=(0，0，1)，=(1，0，0)，
设平面A1C1D的一个法向量=(x，y，1)，
则，即，∴=(-1，-1，1)．
∴平面AB1C与平面A1C1D间的距离d=
将平面AB1C与平面A1C1D间的距离转化成点A到平面A1C1D的距离．
例9.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离
证明：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，
以为轴建立空间坐标系，则，，，，，
，，，
由，知，又，从而平面；
（II）由，得。
设平面的法向量为，，，所以
，设，则
所以点到平面的距离。
(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等
若两平面a、b的法向量分别为、，则
(1)当=0时，平面a⊥平面b；　　　　　(2)当=l，即它们共线时，平面a∥平面b．
若平面a的一法向量为，直线AB在平面a外，则
(1)当=0时，AB∥平面a； (2)①当=l，即它们共线时，AB⊥平面a．
②AB⊥平面a内的两条相交直线，则AB⊥平面a．

A1
C1
B1
B
A
C
D
例9．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
求直线BC1与平面AB1D之间的距离；
解：由题设知，AD，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系A1—DCA1，则
A(0，0，0)，B(，，0)，C(0，3，0)，D(3，0，0)，
B1(，，)，C1(0，3，)．可求得平面AB1D的一个法向量为=(0，，-1)．
直线BC1与平面AB1D之间的距离为
d=．

(2)平面ABD的一个法向量为=(0，0，)，
∴cos<，n>=，
∴二面角B1—AD—B的大小为arccos．
(3)取AB中点M(，，0)，则=(-，，0)是平面ABB1的一个法向量，点C到平面ABB1的距离为
h==1，
又S△ABB1=，∴三棱锥C1—ABB1的体积为．

图8
A
B
C
D
N
P
M
例10．如图8，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分别是AD、PB的中点．
求证：平面MNC⊥平面PBC．
证明：建立空间直角坐标系D—ACP，则
P(0，0，a)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
M(a，0，0)，N(a，，)．
=(a，a，-a)，=(-a，0，0)，
=(a，，)，=(-a，a，0)，
设n1=(x，y，1)为平面PBC的法向量，则n1·=0，n1·=0，
∴，解之得:，∴n1=(0，1，1)．
同理可求平面MNC的一个法向量：n2=(-，-1，1)，
而n1·n2=0-1+1=0，∴n1⊥n2，故平面PBC⊥平面MNC．
若a∥b，则∥；反之也成立．若a⊥b，则⊥；反之也成立．

利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题．但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱、正棱锥等．
事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深．

z
y
x
F
C
B
E
A
A1
B1
C1
D1
D
例7．长方体ABCD—A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求
(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；
(2)二面角D1—AE—D大小的余弦值；
(3)异面直线B1E与D1F的距离．
分析：建立空间直角坐标系A－BDA1，则
(1)=(2，0，-3)，=(0，2，-6)，

cos<，>=，
∴异面直线D1F与B1E所成的角为arccos．
(2)显然平面AED的一个法向量为=(0，0，6)，
设平面AED1的一个法向量为n=(x，y，1)，且n⊥，n⊥，则，
=(2，2，0)，=(0，4，6)，
∴，，∴，∴n=(，-，1)．
cos<，n>q=，得q=arccos．
∴二面角D1—AE—D的大小为arccos．
(3)令向量m=(x，y，1)，且m⊥，m⊥，则，
∴，，∴，∴m=(，3，1)．
∴异面直线B1E与D1F之间的距离为：
d=．
．

练习1： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，且，求：
1) ；
2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；
3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.

解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴.
则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)
)
∵ ∴
(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足为N.
因此AD与平面ANM所成的角即是
∴
(3) ∵平面ABCD，A1N平面AMN，
∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则
P
B
α
C
A

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.
解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知：AD＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)
(1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1)
∴·＝0，
∴AF与BG所成角为 .
(2) 可证明AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z)
由 Þ
故m＝(1,1,2)
∵cos＝
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.

练习2：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离．
解析：平面ACD1的单位法向量n0=(，，)，
又=(0，0，1)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则
d=|·n0|=|(0，0，1)·(，，)|=．
所以，点A1到平面ACD1的距离为．
A
B
C
D
O
S

图4
练习3．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离．
分析：建立如图所示的直角坐标系，则
A(，-，0)，B(，，0)，
C(-，，0)，D(-，-，0)，
S(0，0，2)．∴=(，，0)，
=(，-，2)．
令向量n=(x，y，1)，且n⊥，n⊥，则，
∴，，∴，
∴n=(-，，1)．
∴异面直线BD和SC之间的距离为：
d=