高三数学基础突破复习检测35.doc

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第5讲 导数与函数的极值、最值（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
1．函数的极值
一般地，当函数在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【基础考点突破】
考点1．用导数解决函数极值问题
命题点1．求不含参数函数的极值
【例1】求函数的极值．

【归纳总结】求函数极值的步骤：
①确定函数的定义域； ②求导数； ③解方程，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．
变式训练1．函数y＝2x－的极大值是________．
命题点2．求含参数函数的极值
【例2】已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．

变式训练2． 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值．

变式训练3．若函数，试讨论函数的极值存在情况．

命题点3．已知极值求参数
【例3】(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，) B．[2，) C．(2，) D．[2，)
变式训练4．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．

考点2．用导数解决函数最值问题
【例4】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l的方程为3x－y＋1＝0，在点x＝处y＝f(x)取得极值．
【归纳总结】求函数在上的最大值和最小值的步骤
（1）求函数在内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值，；
（3）将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【例5 】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0．
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．

变式训练5．已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

变式训练6．已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
题型三　函数极值和最值的综合问题
【例6】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16．
(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在区间[－3，3]上的最小值．

变式训练7．（2016年天津高考）设函数,，其中
(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

【基础练习巩固】
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于(　　)
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
3．已知a，b是实数，x＝1和x＝－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则f(－1)的值为（ ）
A．－2 B．2 C．0 D．1
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

6．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．
7．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_．
10．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

12．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

13．设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．

15．（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得fx)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．

2017年高考数学基础突破——导数与积分
第1讲 导数与函数的极值、最值（教师版）
【知识梳理】
1．函数的极值
一般地，当函数在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
基础考点突破】
考点1．用导数解决函数极值问题
命题点1．求不含参数函数的极值
【例1】求函数的极值．
解析：因为，所以，令，解得,或．
下面分两种情况讨论: （1）当，即或时；（2）当，即时．
当变化时， 、的变化情况如下表：

∴当时, f(x)的极大值为；当时, f(x)的极小值为．
【归纳总结】求函数极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③解方程，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

变式训练1．函数y＝2x－的极大值是________．
答案　－3　
解析　(1)y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1．当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0．
∴当x＝－1时，y取极大值－3．
命题点2．求含参数函数的极值
【例2】已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－．
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0．
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a．
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
变式训练2． 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值．

解析：由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax．令f′(x)＝0得x＝0或．
当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1．
当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，)

(，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1．
综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1．
变式训练3．若函数，试讨论函数的极值存在情况．
解析：
令，即，（注意这里方程根的个数需要讨论）．
（1）当 ，即时，，在上单调递增，无极值．
（2）当，即时，解得，
①若，则．
列表如下：

0

极小值

由上表知，时函数取到极小值，即函数存在极小值．
②若，则，所以在上单调递减，函数不存在极值．
综上所述，当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值．

命题点3．已知极值求参数
【例3】(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，) B．[2，) C．(2，) D．[2，)
答案　(1)－7　(2)C
解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7．
(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．
当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，
即a≤x＋恒成立，a≤2；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋恒成立，a≥．
因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)．
变式训练4．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
答案　－
解析　由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝－2ax－1＝，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，又当a＝－时，f′(x)＝＝，
当01时，f′(x)>0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a＝－．

考点2．用导数解决函数最值问题
【例4】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l的方程为3x－y＋1＝0，在点x＝处y＝f(x)取得极值．
(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在区间[－3，1]上的最大值和最小值．
解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由f′(1)＝3，可得2a＋b＝0．①
由f′（）＝0，可得4a＋3b＋4＝0．②
由①②，解得a＝2，b＝－4．
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4，即1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5．
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，则f′(x)＝3x2＋4x－4．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

所以y＝f(x)在区间[－3，1]上的最大值为13，最小值为．
【归纳总结】求函数在上的最大值和最小值的步骤
（1）求函数在内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值，；
（3）将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【例5 】[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0．
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2．
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1x2时，f′(x)<0；当x10．
故f(x)在（－∞，）和（，＋∞）内单调递减，
在（，）内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0．
①当a≥4时，x2≥1．
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0以当x变化时，h′(x)，h(x)在区间(－∞，2]上的变化情况如下表所示：

由表可知，当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，因此，k的取值范围是(－∞，－3]．

变式训练6．已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为．
又f(2)＝ln 2－，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－)＝(x－2)，
即x－4y＋4ln 2－4＝0．
(2)因为f(x)＝＋ln x－1，所以f′(x)＝－＋＝．令f′(x)＝0，得x＝a．
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．
②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a．
③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0e]上单调递减，
所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；
当0
即化简得解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2．
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－2，2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16．
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12．
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在区间[－3，3]上的最小值为－4．
变式训练7．（2016年天津高考）设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【解析】（1），
① ，单调递增；
②，在单调递增，在单调递减，在单调递增
（2）由得
∴

（3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，
使得即可
①当时，在上单调递减

递减，成立
当时，

∵
∴
若时，，成立
当时，，
所以，在区间上的最大值不小于成立

【基础练习巩固】
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．

2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于(　　)
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
答案　B
解析　令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－. 经验证，－为函数y＝x·2x的极小值点．
3．已知a，b是实数，x＝1和x＝－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则f(－1)的值为（ ）
A．－2 B．2 C．0 D．1
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵x＝1和x＝－1是函数f(x)的两个极值点，∴解得
所以f(x)＝x3－3 x，所以f(－1)=2，选B.

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0. ∴a>6或a<－3.
5．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

答案　C
解析　由函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，且当x∈(a，－2)(a<－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)<0；当x∈(－2，b)(b>－2)时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.
所以函数y＝xf′(x)在区间(a，－2)(a<－2)内的函数值为正，在区间(－2，b)(－2取值范围是________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，
∴a＝－ex<－1.
9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案　(，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数递增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>，∴a的取值范围是(，＋∞)．
10．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
答案　(－1,1)
解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．

11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，所以f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当00,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当10
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0取值范围．
解　(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，当且仅当2e2x＝2e－2x，即x＝0时，“＝”成立．
故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论：
当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1＝>0，t2＝>0，即f′(x)＝0有两个根x1＝ln t1，x2＝ln t2.
当x1x2时，f′(x)>0，当x0，从而f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．
15．（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2．718…为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．
（I）
<0，在内单调递减．
由=0，有．
当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增．
（II）令=，则=．
当时，>0，所以，从而=>0．
（iii）由（II），当时，>0．
当，时，=．
故当>在区间内恒成立时，必有．
当时，>1．
由（I）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立．
当时，令=()．
当时，=．
因此在区间单调递增．
又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立．
综上，．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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