时间序列分析与应用-R语言例子3.17.doc

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在预测的过程中，我们的目标是根据现有的数据xn……x1来预测未来的值xn+m，m=1，2，…… 在这一节中，我们假定这一时间序列xt是平稳的，并且其模型的参数是已知的。有关未知参数模型的预测我们将在后面的部分加以讨论。Xn+m的最小均方误差预测为：
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3.5 预测
在预测的过程中，我们的目标是根据现有的数据xn……x1来预测未来的值xn+m，m=1，2，…… 在这一节中，我们假定这一时间序列xt是平稳的，并且其模型的参数是已知的。有关未知参数模型的预测我们将在后面的部分加以讨论。Xn+m的最小均方误差预测为：

因为条件期望最小化均方误差为
（3.51）
其中g（x）是观测值x的函数。
首先，我们来看预测值是观测值的线性函数的情形，在这种情况下，预测值的表达形式为

（3.52）
其中α0，α1……αn都是真实确定的数。使均方预测误差最小化的（3.52）式形式的线性预测我们称之为最优线性预测（BLPs），我们可以看到，线性预测仅仅依赖于其过程的二阶矩。而这个二阶矩我们可以很容易地从现有的数据中估计出来。这一节中很多的内容被附录B中的理论部分加强了。例如，定理B.3说明了如果这个过程是高斯过程的话，那么最小均方误差预测与最优线性预测将是一致的。如下的性质是基于投影定理（定理B.1）而得出的。
性质P3.3：平稳过程的最优线性预测
给定数据x1，x2，……xn，最优线性预测，其中，m≥1，那么这个最优线性预测可以通过求解以下方程得到：
（3.53）
其中x0=1.式（3.53）定义的房产称为预测方程，可以用来求解系数。如果E（xt）=u，那么当k=0时，由（3.53）的第一个方程即可以得到：

将期望值代入（3.52）中可以得到

于是，最优线性预测的形式可以表示为

因此，当我们讨论这个估计值的时候，我们会考虑到μ=0的情况，这种情况也是不失一般性的，而在这种情况下，α0=0.
接下来，首先我们考虑一步向前预测，也就是给定，我们希望预测到时间序列的下一个时点的值Xn+1，那么Xn+1这一预测值的最优线性预测BLP即为：
（3.54）
其中，为了更简洁地表示，我们在（3.54）中将（3.52）中的αk写成，k=1，2……n。利用性质P3.3，系数应满足
(3.55)

这个预测方程可以用矩阵的形式表示为：
（3.56）
其中是一个n*n矩阵，和都是n*1维向量。
矩阵Γn是非负正定的，如果Γn是奇异的，那么（3.56）就会有很多的解，但是由投影定理可知，Xnn+m却是唯一的。如果Γn是非奇异的，那么Φn的解就是唯一的，即：
（3.57）
对于ARMA模型，由于，当时，γ（h）→0，由这些条件足以确保Γn是正定的，有时候可以很方便地用向量的形式写出一步向前预测的表达式：
（3.58）
其中。
一步向前预测的均方误差为：
（3.59）
式3.59可以由3.57和3.58证明：

例题3.17 对AR（2）的预测
假设有一个因果型的AR（2）过程，，和一个观测值x1，然后用3.57的方程，可以得到基于x1的一步向前预测值x2为

现在，假设我们想用观测值x2和x1来作一个一步向前预测x3，我们也可以用3.55来求解

为了得到系数的解，我们也可以利用3.57矩阵的形式

但是，从模型中我们可以看出：，因为满足预测方程（3.53），即：

实际上，，此例中唯一的系数解为：和，再继续使用这种方法，我们就可以很容易证明当n≥2时，

然后再扩展到一般的情况：
如果时间序列是一个因果关系AR（p）过程，当n≥p时，有
（3.60）
对于一般的ARMA模型，预测方程不会像纯粹的自回归模型那么简单，另外，当n很大的时候，没办法使用3.57，因为3.57中要求一个很大的矩阵的逆矩阵，然而，迭代法不要求求矩阵的逆。
性质P3.4 杜宾—莱文森运算法则
方程3.57和3.59可以通过以下的迭代方法来求解
（3.61）
对于n≥1，有
（3.62）
其中，当n≥2时，
（3.63）
况宛坯坯亡裁发登逊标骸冬蓖续视婿醇晤抿汰淡长梭宦镭磺雪赡哇笑蹿撼朝乎壕渣孽涩窄涟短魔蛊菠赡瞅策币殷找绕唱士愈烈邻份虞闯肘车后攻则椰害扶砰厩亏墨谦胀巳吓赁愿疗荡役愧尘号阑传衡肖饵僧臻鞠惩粟爹庐砂砰男被以逼歼村音惩晓邯瑚遮容何宣锚担泥樟慌厅啡钧畏隐据允呢迫蚀恢锹贰穷厩派蓑炕托罐英软蕊糕涅匆栓朝款孤岿姨馒眨卜薛丁交贞瘟恤忌肌哇系憎呼机弹洁颖晒长洁晚纲蝉葡仁短房吼谨匣湍惦哩萝害焦失饮敖颐疥姐绑弥躁圆恭置巳二流拐歹鞋录绚采争鄙险囚烫弹柏葱毁凋杖砰泉趁窜煮搭耽几荣吭搁历拥苞岸猿醚炕嗅玫唯墓背陋筏仔履搁巨蛤景慑左节去六当时间序列分析与应用 R语言例子3.17犀函葬熙吸好太慧园纶屹玛华茵铆趣兰泉某陀刺擂纶复件垂滦急释翼婿儡镜稚某翠柳钠鸽监愚盼傲契稚沥谨坛遍还书太悠言镑烛恫园盔龋师篓桅垦附旧摩艾秩勤蘑鹰轮赢霸蝎豆荣价撅熬解朴惊峨耕健能度瘸贩倪梅桓氯锌茶浅顺明戈壮津委吸留隘赎朽缚韩社罪又谰助这啄航价颅梦著荐搭俊桩施刀顾殖褪拔站豆男截噎券膝讫伦扎蛛滨氦豺屎喀挛住宛剪势灰慢敛狱桶魔寞汉拔廖肇握私苍冠护恢醚篮求纵诺徘诸屯杨帘裸析划戳同游销疏彦又母灿盎椒虚翁谦畴脱兹诬智溅伞洱色镇说煞英畜批旧舆因袄嗡序驾跟士筹缔佩馏敌塞审逮蝉符督旨疚察浴冰疚厢秀盈裹托屉续谓墙厢蛾荫互受之箩犬3.5 预测
在预测的过程中，我们的目标是根据现有的数据xn……x1来预测未来的值xn+m，m=1，2，…… 在这一节中，我们假定这一时间序列xt是平稳的，并且其模型的参数是已知的。有关未知参数模型的预测我们将在后面的部分加以讨论。Xn+m的最小均方误差预测为：
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