2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题47.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)
A．[－5,7] 　　 B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
[答案]　D
[解析]　本题主要考查了绝对值不等式的解法．
依题意：“|x－5|＋|x＋3|”的几何意义为：点x到点5，－3的距离之和．而当x＝－4或6时，|x－5|＋|x＋3|＝10，
∴原不等式的解集为x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
2．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足(　　)
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
[答案]　D
[解析]　由题知：A＝{x|a－1B＝{x|xb＋2}，
若A⊆B，则有a－1≥2＋b或a＋1≤b－2，
解得a－b≥3或a－b≤－3，
即|a－b|≥3，故选D.
二、填空题
3．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
[答案]　[0,4]
[解析]　由||x－2|－1|≤1.
∴0≤|x－2|≤2，
∴－2≤x－2≤2，即0≤x≤4.
4．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
[答案]　{x|－≤x≤}
[解析]　本题考查了绝对值不等式的解法．
当x≤－时，原不等式化为－(2x－1)－(2x＋1)≤6，
∴x≥－，即－≤x≤－；
当－时， 原不等式化为2x－1＋2x＋1≤6，
∴x≤，即1或a≥4.
6．已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析]　∵命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，
∴命题“∀x∈R，|x－a|＋|x＋1|>2”是真命题，
由绝对值的几何意义得|a＋1|>2，即a<－3或a>1.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
[解析]　(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝
当2
所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当21.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
[解析]　(1)当a＝2时，f(x)＋x－4|
＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20的解集是(　　)
A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}
C．{x|－13]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
[答案]　D
[解析]　∵|x－a|＋|x＋4|≥1的解集为R，
∴|x－a|＋|x＋4|≥|(x－a)－(x＋4)|
＝|a＋4|≥1恒成立．
所以a＋4≥1或a＋4≤－1.
解得a≥－3或a≤－5.
故选D.
二、填空题
3．(文)(2013·陕西高考)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
[答案]　(－∞，＋∞)
[解析]　本题考查绝对值不等式性质．
|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|a－x＋x－b|
＝|a－b|>2，所以x∈(－∞，＋∞)．
(理)(2013·陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
[答案]　2
[解析]　解法1：∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(an＋bm)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取等号，
∴所求最小值为2.
解法2：由柯西不等式(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号成立时，bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)，及a，b，m，n∈R＋，a＋b＝1，mn＝2，得
(am＋bn)(an＋bm)≥(＋)2
＝(a＋b)2·mn＝2，等号在时成立，
∴k＝1，m＝n＝时，(am＋bn)(an＋bm)取到最小值2.
4．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[答案]　－2≤a≤4
[解析]　本题考查了绝对值不等式以及解法．
由3≥|x－a|＋|x－1|≥|x－a－(x－1)|＝|a－1|，
∴－3≤a－1≤3，－2≤a≤4.
解答本题运用了|a±b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
5．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2| ≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
[答案]　5
[解析]　本题主要考查绝对值不等式的性质．
|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.
6．(2013·湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
[答案]　12
[解析]　解法1：本题考查了基本不等式的应用．
≥，
∴a2＋(2b)2＋(3c)2≥＝12.
解法2：由柯西不等式
(a2＋4b2＋9c2)(1＋1＋1)≥(a＋2b＋3c)2＝36，
即a2＋4b2＋9c2≥12，
当且仅当a＝2b＝3c＝2，即a＝2、b＝1、c＝时取等号．
三、解答题
7．(2013·新课标Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[解析]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
8．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求证：|y|<.
[解析]　因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|
≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，所以|y|<.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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