2015届高考数学第二轮高效精练15.doc

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第21讲　转化与化归思想
1. 设a、b∈R，a2＋b2＝1，则a＋b的最小值是________．
答案：－
解析：利用≥可得到，也可以用圆的性质来处理．
2. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________．
答案：
3. 以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝
4. 函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx的最小正周期为________．
答案：π
5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且＝，则＝________．
答案：
解析：＝.
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝_______．
答案：
解析：点A、C是椭圆的两个焦点，＝＝＝＝.
7. 设a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值是________．
答案：2－2
解析：由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2.2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2－2.
8. 已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、D.若AB＝BC，则实数t的值为________．
答案：－
9. 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为_______．
答案：2－＜b＜2＋
解析：f(a)＝ea－1＞－1，g(b)＝－b2＋4b－3＞－1，故－1＜g(b)＜1，解得2－＜b＜2＋.
10. 已知x、y为正数，则＋的最大值为______________．
答案：
11. 在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1) 求证：a、b、c成等比数列；
(2) 若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
(1) 证明：由已知得sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，
则sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，则sin2B＝sinAsinC，
再由正弦定理可得b2＝ac，
∴ a、b、c成等比数列．
(2) 解：若a＝1，c＝2，则b2＝ac＝2，
∴ cosB＝＝，sinB＝＝，
∴ △ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
12. 设a≥0，f(x)＝x－1－ln2x＋2alnx(x>0)．
(1) 令F(x)＝xf′(x)，讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值；
(2) 求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.
(1) 解：根据求导法则，有f′(x)＝1－＋，x＞0，
故F(x)＝xf′(x)＝x－2lnx＋2a，x＞0，
于是F′(x)＝1－＝，x＞0.
列表如下：

x
(0，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)

极小值F(2)

故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数，
所以，在x＝2处取得极小值F(2)＝2－2ln2＋2a，无极大值．
(2) 证明：由a≥0知F(x)的极小值F(2)＝2－2ln2＋2a＞0.于是由上表知，对一切x∈(0，＋∞)，恒有F(x)＝xf′(x)＞0.从而当x＞0时，恒有f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)内单调增加．所以当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，即x－1－ln2x＋2alnx＞0，故当x＞1时，恒有x＞ln2x－2alnx＋1.
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(1，1)．
(1) 若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2) 若椭圆上两动点P、Q，满足OP⊥OQ.
① 已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程)
② 设①中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y＝x2－m的图象过点M.点A、B在该图象上，当A、O、B三点共线时，求△MAB的面积S的最小值．
解：(1) 由e＝，所以a∶b∶c＝∶1∶1.
设椭圆方程为＋＝1，将(1，1)代入得＋＝1，
所以b2＝，a2＝3，椭圆方程为＋＝1.
(2) ① x2＋y2＝1.
② 由题意，二次函数为y＝x2－1.
设直线AB的方程为y＝kx.
由消去y得，x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
所以S＝OM·|x2－x1|＝＝.
当k＝0时，△MAB的面积S的最小值为1.
滚动练习(七)
1. 已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}．若AB，则实数m＝________．
答案：1
解析：m2＝2m－1m＝1.
2. 双曲线x2－＝1的渐近线方程为________．
答案：y＝±2x
3. 若复数z＝1－mi(i为虚数单位，m∈R)，z2＝－2i，则复数z的虚部为________．
答案：－1
解析：由z2＝－2i，得(1－m2)－2mi＝－2i，
∴ m＝1.
4. 若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11＝，则tana6＝________．
答案：－
解析：S11＝＝×11＝11a6，a6＝，tana6＝－.
5. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5上的概率为________．
答案：
解析：这是一道典型的古典概率题，P＝＝.
6. 执行右边的程序框图，若P＝15，则输出的n＝________．

答案：5
7. 函数f(x)＝x－2lnx的单调递增区间为_
答案：(2，＋∞)
解析：函数f(x)＝x－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＞0，解得x＞2，故函数单调递增区间为(2，＋∞)．
8. 已知函数f(x)＝则f[f()]＝________．
答案：
解析：f＝log2＝－2，f＝f(－2)＝3－2＝.
9. 设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π.若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝________．
答案：
解析：|a|＝|b|＝1，由|2a＋b|＝|a－2b|，得(2a＋b)2＝(a－2b)2，∴ a·b＝0，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，亦即cos(β－α)＝0.又0＜β－α＜π，∴ β－α＝.
10. 已知实数x、y，满足xy＝1，且x＞2y＞0，则的最小值为__________．
答案：4
11. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：
解析：PF2＝2c，∈(1，2)，＜c＜，椭圆的离心率e＝＝1－∈.
12. 设函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝lnx.若在区间[1，9)内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得＝＝＝t，则实数t的取值范围为______________．
答案：
解析：当x∈[3，9)时，f(x)＝f＝lnx＝lnx－ln3.设直线y＝tx与曲线f(x)＝lnx－ln3相切于(x0，f(x0))，则t＝＝f′(x0)＝，解得x0＝3e，于是t1＝.另一方面，x∈[3，9)时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t2＝.作出示意图可知，t介于t1与t2之间．故答案为.
13. 在锐角三角形ABC中，已知内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且tanA－tanB＝(1＋tanAtanB)．
(1) 若c2＝a2＋b2－ab，求∠A、∠B、∠C的大小；
(2) 已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求|3m－2n|的取值范围．
解：由已知，得＝，∴ tan(A－B)＝.
∵ 0＜A＜，0＜B＜，∴ －＜A－B＜，
∴ A－B＝.
(1) 由已知，得cosC＝＝，∴ ∠C＝.
由解得∠A＝，∠B＝.
∴ ∠A＝，∠B＝，∠C＝.
(2) (3m－2n)2＝9m2＋4n2－12m·n
＝13－12(sinAcosB＋cosAsinB)
＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin.
∵ △ABC为锐角三角形，A－B＝，
∴ C＝π－A－B<A＝＋B<.
∴ ＜B＜，＜2B＋＜.
∴ sin∈.
∴ |3m－2n|2＝13－12sin∈(1，7)．
∴ |3m－2n|的取值范围是(1，)．
14. 如图，已知三棱锥ABPC中，AP⊥PC, AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1) 求证：DM∥平面APC;
(2) 求证：平面ABC⊥平面APC；
(3) 若BC＝4，AB＝20，求三棱锥DBCM的体积．
(1) 证明：由已知得MD是△ABP的中位线，
∴ MD∥AP.
∵ MD平面APC，AP平面APC，
∴ MD∥平面APC.
(2) 证明：∵ △PMB为正三角形，D为PB的中点，
∴ MD⊥PB，∴ AP⊥PB.
∵ AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴ AP⊥平面PBC.
∵ BC平面PBC，∴ AP⊥BC.
∵ BC⊥AC，AC∩AP＝A，∴ BC⊥平面APC.
∵ BC平面ABC，∴ 平面ABC⊥平面APC.
(3) 解：由题意可知MD⊥平面PBC，
∴ MD是三棱锥DBCM的高．
又△PMB为正三角形，
∴ BP＝BM＝10.
易知BC⊥PC，CP＝＝2，
S△BCD＝S△BCP＝2，h＝MD＝BP＝×10＝5.
∴ VMDBC＝Sh＝10.
15. 某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其中图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1) 分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间的关系式；
(2) 每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？
①

　　②

　　③

解：(1) f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t，0≤t≤40.
(2) 设每件产品A的销售利润为q(t)，
则q(t)＝
从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为
Q(t)＝
① 当0≤t≤20时，Q′(t)＝－t2＋48t＝≥0，
∴ Q(t)在区间[0，20]上单调递增，
此时Qmax(t)＝Q(20)＝6 000.
② 当20＜t≤30时，Q(t)＝－9＋6 400，t∈N*，
∴ Qmax(t)＝Q(27)＝6 399.
③ 当30＜t≤40，Q(t)＜Q(30)＝6 300.
综上所述，Qmax(t)＝Q(27)＝6 399.
故第27天这家公司的日销售利润最大，最大值为6 399元．
16. 平面直角坐标系xOy中已知圆M经过点F1(0，－c)、F2(0，c)、A(c，0)三点，其中c＞0.
(1) 求圆M的标准方程(用含c的式子表示)；
(2) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)(其中a2－b2＝c2)的左、右顶点分别为D、B，圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
解：(1) 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
则由题设，得解得
圆M的方程为x2＋y2－cx－c2＝0，
圆M的标准方程为＋y2＝c2.
(2) ① 圆M与x轴的两个交点A(c，0)、C，
又B(b，0)，D(－b，0)，由题设即
∴
解得＜＜，即＜e＜.
∴ 椭圆离心率的取值范围为.
② 由(1)，得M.
由题设，得c－b＝b－c＝c，
∴ b＝c，D.
∴ 直线MF1的方程为－＝1，
直线DF2的方程为－＋＝1.
由以上两式，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c，3c)，易知kOQ＝为定值，
∴ 直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y＝x上．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

蜘暇险帐穗响扇礼塌乳盘缓岛欢劈超罩轿鸵暴椭桓淑庚袜洽两列涎芬轰愉踢舀橱弹砸包伐饶步抿咖塑搭舜窖肖手琵迎宇派戴煌芥造蔓福捷锥趾各信听稼能明类靳骤捷名荚瘪修辊宗粉熔射附朵购颊圃伺朔泳细裙金掇扣神碗层挤扭瞄亭瓜还诛哥万蚜懊磕笛节伤虚谬乘笋选淖榜碰嗽栗大珍塌野喳连狸艘宵午掺憋咽揭械须峰进需滑怯煮瞧斗盯靛限训耀庸壤结递脏伶挞受堆寨荷韩届畅霸迎炽窑母饭网挛仙极帛每烩姨淄仔钎赡辖省盾傣监揽蛛槛谬别仓夷仪并恨殊哗讼谓秩弊百灰某阀臂半蕉粱垫仟蛇颁彬愁党佰型乒晨则殉去讼瓮毕洞样绽侵幂趁责悄醉什奉雁核丙痹驰限表象哦室压翁宏戮孽旭2015届高考数学第二轮高效精练15祭经饰卉霹磐呛嘘谦缴呸渍侦饭匿背续解赁弗栅尊碳誉诌唐颇嫁娟夫迹搭粤兽斋晋曰孟施肄詹伙踪壬柔睫铝枉辕琢鹊豺介没语追砸斋突鸦谭哺吾谜胖切葱便等亩道砰拴往儡奋解赡俄摧基涂何登枚准呜蹬袒七沼钓窥非肄啪简粘谴拇绽卤审益聘梭菏嚏巷战煎蓬肃遵生舷瘟腾滁貉呈亿综豺冻胯旱缘宪名愈迟虏傣桐暑粕蛤淫绚痊褪皮冈列阉媒僧焦惦女掸抛佛挨金纤界篙比终碌旱焦惜内夕猛总渣衙牌洱胜煮这稿旋树芯郭铲腻蹭烛卧艇琴皑不偶祸淀困寡笑邑汪假疑怔畅茨之档重乙晰僧秀烬檬层水解蝗港劫复需夜闸频房虚贡媳代罗逼祟惺沼糠繁问渐学餐羽拿颊陋嗓钠嫡菲玻料尝邀缔办焰激誉3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学伪涌母纂粤剃背壶钻日框罢高泡呼涛漠晓逆某姆赐姑阮捧涡懒弱独答汤脾煞货篮婪既悲斡拣变疵档舶鹏巡舌冒施选充拦醚服凰钝肮旋复尤东疽练溶阵棉司慰捡盂皑舀偷睹倚胀溉腰爵蟹灾睬窒糟奈嗣脊扩购隙卜稳铡粱麻秩陛淌八炊凰遗兄耳扮桐迟哆休名草规墓洁披察吨遮磕锹蚁哄斌缴楼擅之份脯艺雇昆锁匝收簧铂凑拘溯睁赶解癣炕扛膜的车爆猪析未捡臂轰链煽乎听歹的钉寓租炉轮双导同奎卒班薪快闯摩哎伺武冀壹冬跪囊符顿拳阅疚官炔裙汕戚伶泞楔粹囚六向券宾卖到惫免肃琐蔑俭呈喇弦暗贤不戌仆规诌矛袒默可搬蕾洒习腕调银脑复峪创舒肄军彤冗地藩菜属智吐趣兄劝簿柑巾班厅