平面向量典型例题.doc

平面向量经典例题：
1. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－
C．－1 D．－
[答案]　C
[解析]　λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2. (文)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)
A．－1 B．－
C．－3 D．1
[答案]　C
[解析]　a＋2b＝(，1)＋(0,2)＝(，3)，
∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝k＋3＝0，∴k＝－3.
(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　C
[解析]　a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，
∵a＋b与a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.
3. 设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案]　B
[解析]　如图，在▱ABCD中，
∵|a|＝|b|＝c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，
设|b|＝x，则1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.
4. 若·＋2＝0，则△ABC必定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
5. 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为(　　)
A．－a＋3b B．a－3b
C．3a－b D．－3a＋b
[答案]　B
[解析]　设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴，∴，∴c＝a－3b，故选B.
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案]　B
[解析]　∵E为OD的中点，∴＝3，
∵DF∥AB，∴＝，

∴|DF|＝|AB|∴|CF|＝|AB|＝|CD|，
∴＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
6. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
[答案]　D
[解析]　据已知得cosB＝＝，故·＝||×||×(－cosB)＝7×5×＝－19.
7. 若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　)
A．12 B．2
C．3 D．6
[答案]　D
[解析]　a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号在x＝，y＝1时成立．
8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2＋x＋＝0，实数x为(　　)
A．－1 B．0
C. D.
[答案]　A
[解析]　x2＋x＋－＝0，∴x2＋(x－1)＋＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.
9. (文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8 B．最小值为2
C．是定值6 D．与P的位置有关
[答案]　C
[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C1,0)，A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，
设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，
∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C.

(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵∠A＝120°，·＝－1，∴||·||·cos120°＝－1，
∴||·||＝2，∴||2＋||2≥2||·||＝4，∵D为BC边的中点，
∴＝(＋)，∴||2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2－2)≥(4－2)＝，
∴||≥.
10. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知＝，∴λ＝.

11. 已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－
[答案]　C
[解析]　ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
由条件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，∴m＝－2，故选C
12. 在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)
A．2　　　　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．6
[答案]　B

[解析]　·＝(＋)·
＝(＋)·＝·＋·
＝||·||·cos45°＝×3×3×＝3.
13. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.
[答案]　
[解析]　由条件知，||＝||＝||＝3，〈，〉＝60°，
〈，〉＝60°，＝，
∴·＝·(＋)＝·＋·＝3×3×cos60°＋×3×3×cos60°＝.
14. 已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________．
[答案]　－。[解析]　a在b方向上的投影为＝＝－.
15. 已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.
[答案]　1
[解析]　∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
16. 已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.
[答案]　3
[解析]　设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，
||·sin30°＝||＝n||＝n，
两式相除得：＝＝＝，∴＝3.
17. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
[答案]　5
[解析]　由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴·＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又·＝||·||·cos〈，〉＝5cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝，
∴S△OAB＝||·||·sin〈，〉＝××5×＝5.
(理)三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
①sinA＋cosA＝　②·<0　③b＝3，c＝3，B＝30°　④tanA＋tanB＋tanC>0.
[答案]　④
[解析]　若A为锐角，则sinA＋cosA>1，∵sinA＋cosA＝，∴A为钝角，∵·<0，∴·>0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；由正弦定理＝得，＝，∴sinC＝，∴C＝60°或120°，∵c·sinB＝，3<<3，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．
④由tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC>0，及A、B、C∈(0，π)，A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
18. 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值．
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解析]　(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝＝2.
19. 已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(cosx，－)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)将函数f(x)的图象向左平移上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标．
[解析]　(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sinxcosx＋－2
＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，
∴周期T＝＝π.
(2)向左平移个单位得，y＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋)，横坐标伸长为原来的3倍得，
g(x)＝sin(x＋)，令x＋＝kπ得对称中心为(－，0)，k∈Z.
20. (文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若sinA＋sinC的取值范围．
[解析]　(1)由m∥n知＝，
即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cosB＝，得B＝.
(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)
＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，
∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，
∴A＋∈(，)，∴sin(A＋)∈(，1]，
∴sinA＋sinC的取值范围为(，]．
(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域．
[解析]　(1)由m∥n得(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，
∵sin(A＋C)＝sinB，∴2sinBcosA－sinB＝0，
∵B、A∈(0，π)，∴sinB≠0，∴A＝.
(2)y＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝1－cos2B＋sin2B＝sin(2B－)＋1，
当角B为钝角时，角C为锐角，则

⇒b＝(cosx，sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
(2)若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)(|m|<)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值．
[解析]　(1)依题设，f(x)＝2cos2x＋sin2x
＝1＋2sin(2x＋)．
由1＋2sin(2x＋)＝1－，得sin(2x＋)＝－，
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴2x＋＝－，即x＝－.
(2)函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)平移后得到函数y＝2sin2(x－m)＋n的图象，即函数y＝f(x)的图象．由(1)得f(x)＝2sin2(x＋)＋1.∵|m|<，∴m＝－，n＝1.
22. 已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值．
[解析]　(1)∵＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，
∴f(x)＝·＝(2cosx＋1)cosx－(cos2x－sinx＋1)
＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1＝cosx＋sinx＝sin(x＋)，
∴函数f(x)最小正周期T＝2π.
(2)∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]，
∴当x＋＝，即x＝时f(x)＝sin(x＋)取到最大值.
23. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(－1,1)，n＝(cosBcosC，sinBsinC－)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)现在给出下列三个条件：①a＝1；②2c－(＋1)b＝0；③B＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．
(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．
[解析]　(1)因为m⊥n，所以－cosBcosC＋sinBsinC－＝0，
即cosBcosC－sinBsinC＝－，所以cos(B＋C)＝－，
因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以cosA＝，A＝30°.
(2)方案一：选择①②，可确定△ABC，
因为A＝30°，a＝1,2c－(＋1)b＝0，
由余弦定理得，12＝b2＋(b)2－2b·b·解得b＝，所以c＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝···＝，
方案二：选择①③，可确定△ABC，
因为A＝30°，a＝1，B＝45°，C＝105°，
又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝，
由正弦定理c＝＝＝，
所以S△ABC＝acsinB＝·1··＝.
(注意：选择②③不能确定三角形)
(理)如图，⊙O方程为x2＋y2＝4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N，∥，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设F1(0，)、F2(0，－)，若过F1的直线交(1)中曲线C于A、B两点，求·的取值范围．
[解析]　(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，
∵＝，∴，∴，
代入x＋y＝4得，＋＝1.
(2)①当直线AB的斜率不存在时，显然·＝－4，
②当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y＝kx＋，
由得，(9＋4k2)x2＋8kx－16＝0，
不妨设A1(x1，y1)，B(x2，y2)，则
，
·＝(x1，y1＋)·(x2，y2＋)＝(x1，kx1＋2)·(x2，kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋20
＝＋＋20＝＋20
＝－4＋，
∵k2≥0，∴9＋4k2≥9，∴0<≤，
∴－4<·≤，
综上所述，·的取值范围是(－4，]．
24. 在平面直角坐标系内，已知两点A(－1,0)、B(1,0)，若将动点P(x，y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x，y)，且满足·＝1.
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)过点B作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
[解析]　(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，y)，
依据题意得，＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．
∵·＝1，∴x2－1＋2y2＝1.∴动点P所在曲线C的方程是＋y2＝1.
(2)因直线l过点B，且斜率为k＝－，∴l：y＝－(x－1)，
联立方程组，消去y得，2x2－2x－1＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，∴∴y1＋y2＝－(x1－1)－(x2－1)
＝－(x1＋x2)＋＝.
由＋＋＝0得，＝(－x1－x2，－y1－y2)，即H(－1，－)，
而点G与点H关于原点对称，∴G(1，)，
设线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，kGH＝，则有
l1y－＝(x－)，l2：y＝－x.联立方程组
解得l1和l2的交点为O1(，－)．
因此，可算得|O1H|＝＝，
|O1M|＝＝.
所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O1(，－)，半径为.
3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

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