微积分试题集.doc

微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题5分，共10分）4若时,是等价无穷小,求常数的值.5. 设在处连续，求的值.二、导数与微分：（每题5分，共25分）1. 设求 2求由方程所确定的曲线在处的切线方程. 3利用微分近似计算,求 的近似值. 4设 求 5. 求曲线的拐点.三、计算下列各题：（每小题8分，共16分）1. 设某商品的价格与需求量的关系为,(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性. 2. 设为的原函数,且,已知求四、证明题：（每小题5分，共10分）1. 当时, 证明：.2. 设连续且，试证明是的极小值点。二季一、填空题（每小题4分，本题共20分）函数的定义域是若函数,在处连续，则 曲线在点处的切线方程是微分方程的阶数为 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）设，则（ ）A B C D若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 函数在区间是（ ）A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（本题共44分，每小题11分）计算极限设，求. 计算不定积分计算定积分四、应用题（本题16分） 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 微积分初步期末试题选（一）1填空题（1）函数的定义域是 （2）函数的定义域是（3）函数，则 （4）若函数在处连续，则 （5）函数，则 （6）函数的间断点是 （7）（8）若，则2单项选择题、（1）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数（2）下列函数中为奇函数是（）A B C D（3）函数的定义域为（）A B C且 D且（4）设，则（ ）A B C D（5）当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D （6）当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D （7）函数的间断点是（ ）A B C D无间断点3计算题 （1） （2） （3）微积分初步期末试题选（二）1填空题（1）曲线在点的切斜率是（2）曲线在点的切线方程是 （3）已知，则=（4）已知，则=（5）若，则 2.单项选择题（1）若，则=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2（2）设，则（ ） A B C D（3）设是可微函数，则（ ） A B C D（4）若，其中是常数，则（ ） A B C D3计算题 （1）设，求 （2）设，求.（3）设，求. （4）设，求.微积分初步期末试题选（三） 1填空题（1）函数的单调增加区间是 （2）函数在区间内单调增加，则应满足 2单项选择题（1）函数在区间是（ ）A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点（3）下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上.（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） A B C D3应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 微积分初步期末试题选（四） 1填空题（1）若的一个原函数为，则 .（2）若，则（3）若（4）（5） （6）若，则（7）若，则（8） （9） .（10）= 2单项选择题（1）下列等式成立的是（）A BC D（2）以下等式成立的是（ ）A B C D （3）（ ）A. B. C. D. （4）下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D （5）设是连续的奇函数，则定积分（ ）A0B CD （6）下列无穷积分收敛的是（）A B C D3计算题（1） （2）（3） (4)(5) (6) (7)微积分初步期末试题选（五）1填空题(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 . (2)由定积分的几何意义知，= .(3)微分方程的特解为 . (4)微分方程的通解为 . (5)微分方程的阶数为 2.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D (2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D (3)微分方程的通解为（ ） A B C D (4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三季一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计10分)1_。（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不存在2当时，的极限为 _。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在 下列极限存在，则成立的是_。 设f（x）有二阶连续导数，且 （A ） 极小值 （B ）极大值（C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点5若则下列各式 成立。 二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设，那么曲线在原点处的切线方程是_。函数在区间0，3上满足罗尔定理，则定理中的x=。3设 。4设那么2阶导函数 5设某商品的需求量是价格的函数，那么在的水平上，若价格下降1，需求量将。6若且 。三、计算题（每小题6分，共42分）：1、 求 2、3、设4、5、6、7、设函数f(x)具有二阶导数，且f（0）=0, 又 ，求。四、应用题（8分）1，假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。（1） 求边际收益函数和边际成本函数；（2） 求使销售利润最大的商品单价。五、（12分）作函数的图形六、证明题（每题5分，共计10分） 1、 设函数在上连续，且在内是常数，证明在上的表达式为，2、设函数在上可导，且证明在内仅有一个零点。四季一、填空题（每小题4分，本题共20分）函数的定义域是 已知，则=若，则微分方程的阶数是 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数函数的间断点是（ ）A B C D无间断点下列结论中（ ）正确 A在处连续，则一定在处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. C在处不连续，则一定在处不可导. D函数的极值点一定发生在不可导点上.如果等式，则（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D三、计算题（本题共44分，每小题11分）计算极限 设，求. 计算不定积分 计算定积分四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？五季一、填空题（每小题4分，本题共20分）函数的定义域是若，则已知，则=若微分方程的阶数是 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数当=（ ）时，函数，在处连续.A1 B2 CD0 满足方程的点一定是函数的（ ）。A极值点B最值点 C驻点D 间断点设是连续的奇函数，则定积分（ ）AB CD 0微分方程的通解是（）A. ；B. ；C. ； D. 三、计算题（本题共44分，每小题11分）计算极限设，求. 计算不定积分计算定积分四、应用题（本题16分） 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 微积分习题集答案一季一、计算下列极限：（每题5分，共25分）1。2。3. 。4若时,是等价无穷小,求常数的值.解：由于时有与，故。5. 设在处连续，求的值.解：由左连续与右连续分别得，所以得及。二、导数与微分：（每题5分，共25分）1. 设求 解：两边去对数得 ，再求导得，整理后得 。当时有 ，所以。2求由方程所确定的曲线在处的切线方程. 解：易知时有。求导得 ，将代入则有，所以切线方程为 。3利用微分近似计算,求 的近似值. 解：令，则。取，则有，所以 。4设 求 解：， ，所以，即。5. 求曲线的拐点.解：求导得 与 。显然，当时不存在；当时，所以与是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化，不难看出所以，与均为曲线的拐点。三、计算不定积分：（每题6分，共24分）1。2。3：令，则。4 。四、计算下列各题：（每小题8分，共16分）1. 设某商品的价格与需求量的关系为,(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性. 解：（1），故，这说明当价格时，若价格上涨（下跌），则需求量近似减少（增加）。（2）我们知道时，总收益最大。由解得，所以当价格时总收益最大。2. 设为的原函数,且,已知求解：因为，所以给定条件等价于，两边关于求积分，则，从而（）。将代入可得，所以 ，从而 。五、证明题：（每小题5分，共10分）2. 当时, 证明：.证明：令 ，则 ，当时显然有 ，并且只有在时才有，所以在时为增函数。故当时有，也就是说当时, 。2. 设连续且，试证明是的极小值点。证明：由知。又连续，所以。根据定义有，由第二充分条件即可知是的极小值点。二季一、填空题（每小题4分，本题共20分） 1 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）CBDAB 三、（本题共44分，每小题11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分4解： 11分 四、应用题（本题16分）解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省 微积分初步期末试题选（一）1填空题（1） 答案：且.（2）答案：（3）答案：（4）答案：（5）答案：（6）答案：（7）答案：1（8）答案：2单项选择题（1）答案：B （2）答案：C （3）答案：D （4）答案：C （5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A3计算题 （1） 解：（2） 解： （3）解： 微积分初步期末试题选（二）1填空题（1）答案： （2）答案： （3）答案： ，=27（4）答案：，=（5）答案：，2.单项选择题（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C3计算题 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 微积分初步期末试题选（三）1填空题（1）答案：（2）答案：2单项选择题（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B3应用题解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 且，说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元） 微积分初步期末试题选（四）1填空题（1）答案： （2）答案： （3）答案： （4）答案：（5）答案： （6）答案：（7）答案： （8） 答案：（9）答案：0 （10）答案：2单项选择题（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答案：A（5） 答案：A （6）答案：D3计算题（1）解：（2）解：（3）(4)解：= (5);(6)解：(7) 解： 微积分初步期末试题选（五）1填空题(1)答案： (2)答案： (3) 答案： (4)答案： (5)答案：42.单项选择题(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B三季一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计10分)1C； 2 D； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 2 3 4X=2,极小值 5上升2% 6三、计算题（每小题6分，共42分）：1、求 解：令，则3、解：原式= 3、设 解：由 3分得a=0，b=-2，c取任意实数。 3分4解： 3分 3分5、解 2分 2分 2分6、解： 2分 2分 2分7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又 ，求 解：，这时连续 2分 3分所以 1分四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。（3） 求边际收益函数MR和边际成本函数MC；（4） 求使销售利润最大的商品单价。解：（1） 3分 （2）利润函数 1分 2分P=155/2时利润最大。 2分五、（12分）作函数的图形答案： （1）定义域是是间断点 1分 （2）渐近线因故y=0为水平渐近线因故x=1为垂直渐近线 2分 (3)单调性、极值、凹凸及拐点 令得x=0 令得拐点间断点再列表是极小值；拐点是. 6分(4)选点当 时，y=0;当时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时， 1分(5)描点作图 略 2分六、证明题（每题5分，共计10分） 1、设函数在上连续，且在内是常数，证明在上的表达式为 证明：设在（a，b）内任取一点x，在区间a，x上由拉格朗日中值定理有： 2分 则 2分 当x=a时，上式也成立。 1分2、设函数在上可导，且证明在内仅有一个零点。证明：在内任取一点x，则 3分令，由f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。 2分四季一、填空题（每小题4分，本题共20分） 1 3二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）BACDD三、计算题（本题共44分，每小题11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分解： 11分 四、应用题（本题16分）解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以 令，得， 10分因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元） 16分五季一、填空题（每小题4分，本题共20分） 3二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）BACDB 三、（本题共44分，每小题11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分解： 11分 四、应用题（本题16分）解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是 =3令得唯一驻点（舍去） 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省. 16分