微积分试题集.doc

微积分试题集
一季
一、计算下列极限：（每题5分，共10分）
4．若时,是等价无穷小,求常数的值.

5. 设在处连续，求的值.

二、导数与微分：（每题5分，共25分）
1. 设求

2．求由方程所确定的曲线在处的切线方程.

3．利用微分近似计算,求 的近似值.

4．设 求

5. 求曲线的拐点.

三、计算下列各题：（每小题8分，共16分）
1. 设某商品的价格与需求量的关系为,
(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.
（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性.

2. 设为的原函数,且,已知求

四、证明题：（每小题5分，共10分）
1. 当时, 证明：.

2. 设连续且，试证明是的极小值点。

二季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈函数的定义域是　　　　　　　　．
⒉若函数,在处连续，则　　 ．
　⒊曲线在点处的切线方程是 ．
⒋ ．
⒌微分方程的阶数为 ．

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设，则（ ）
A．　　 B． 　
C．　　　 D．
⒉若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
⒊函数在区间是（ ）　
A．单调增加　　 B．单调减少
C．先增后减　 D．先减后增
⒋（ ）
A. B.
C. D.
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（　）
A. ；　 　B. ；
C. ； D.

　三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限．

　⒉设，求.

⒊计算不定积分

⒋计算定积分

四、应用题（本题16分）
　欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

微积分初步期末试题选（一）
1．填空题
（1）函数的定义域是　　　　　　　　．
（2）函数的定义域是　　　　　　　　．
（3）函数，则 ．
（4）若函数在处连续，则　　 ．

（5）函数，则　　 ．
（6）函数的间断点是　　 　　　　．
（7）　　　　　．
（8）若，则　　　　　．

2．单项选择题、
（1）设函数，则该函数是（　）．
　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
（2）下列函数中为奇函数是（ ）．
A． B． C． D．
（3）函数的定义域为（ ）．
A． B． C．且 D．且
（4）设，则（ ）
A．　　 B． 　
C．　　　 D．
（5）当（ ）时，函数在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
（6）当（ ）时，函数，在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
（7）函数的间断点是（ ）
A． B．
C． D．无间断点

3．计算题
（1）．

（2）

（3）

微积分初步期末试题选（二）

1．填空题
（1）曲线在点的切斜率是　　　　　　　　．
（2）曲线在点的切线方程是　　　　　　　　 ．

（3）已知，则=　　　　　　　　．
（4）已知，则=　　　　　　　　．
（5）若，则 ．
2.单项选择题
（1）若，则=（　 ）．
　　A. 2　 B. 1 　C. -1　　 D. -2
（2）设，则（　 ）．
A． B． C． D．
（3）设是可微函数，则（ ）．
A． B．
C． D．
（4）若，其中是常数，则（ ）．
A． B． C． D．

3．计算题
（1）设，求． （2）设，求.

（3）设，求. （4）设，求.

微积分初步期末试题选（三）

1．填空题
（1）函数的单调增加区间是　　 　　．
（2）函数在区间内单调增加，则应满足 ．

2．单项选择题
（1）函数在区间是（ ）　
A．单调增加　　 B．单调减少
C．先增后减　 D．先减后增
（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
（3）下列结论中（ ）不正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．在处不连续，则一定在处不可导.
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．函数的极值点一定发生在不可导点上.
（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．
A． B． C． D．
3．应用题
（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

微积分初步期末试题选（四）

1．填空题
（1）若的一个原函数为，则 .
（2）若，则　　　　　．
（3）若
（4） ．
（5） ．
（6）若，则　　　　　．
（7）若，则　　　　　．
（8）
（9）　　　 　　　.
（10）=　　　　．

2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（　）．
A．　　　　　 　B．
C．　　 　D．
（2）以下等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（ ）
A. B.
C. D.
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A． B．
C． D．
（5）设是连续的奇函数，则定积分（ ）　
A．0　　B． C．　D．
（6）下列无穷积分收敛的是（　）．
　　A．　　　　　 　B．
　　C．　　　　 　　　D．
3．计算题
（1） （2）

（3） (4)

(5) (6)

(7)

微积分初步期末试题选（五）

1．填空题
(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 .
(2)由定积分的几何意义知，= .
(3)微分方程的特解为 .
(4)微分方程的通解为 .
(5)微分方程的阶数为 ．
2.单项选择题
(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4
C． D．
(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
(3)微分方程的通解为（ ）．
A． B． C． D．
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（　）
A. ；　 　B. ；
C. ； D.

三季
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．_________。
（A ） -¥ （B ） +¥ 　　　　（C） 0 （D） 不存在
2．当时，的极限为 _________。
（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在
３． 下列极限存在，则成立的是_________。

４． 设f（x）有二阶连续导数，且
（A ） 极小值 （B ）极大值（　C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点
5．若则下列各式 成立。

二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. 设，那么曲线在原点处的切线方程是__________。
２．函数在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的x=　　　　。
3．设　　　　　 。
4．设那么2阶导函数 　
5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格
下降1％，需求量将　　　　　　。
6．若且 。
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、 求
2、

3、设

4、

5、

6、

7、设函数f(x)具有二阶导数，且f（0）=0, 又 ，求。

四、应用题（8分）
1，假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。
（1） 求边际收益函数和边际成本函数；
（2） 求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数的图形

六、证明题（每题5分，共计10分）
1、 设函数在上连续，且在内是常数，证明在上的表达式为，

2、设函数在上可导，且证明在内仅有一个零点。

四季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈函数的定义域是　　　　　　　　．
　⒉　　　　　．
　⒊已知，则=　　　　　　　　．
⒋若，则　　　　　．
　⒌微分方程的阶数是　　　　　　　　．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数，则该函数是（　）．
　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
⒉函数的间断点是（ ）
A． B． C． D．无间断点
⒊下列结论中（ ）正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C．在处不连续，则一定在处不可导.
D．函数的极值点一定发生在不可导点上.
⒋如果等式，则（ ）
A. B. C. D.
⒌下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
　三、计算题（本题共44分，每小题11分）

⒈计算极限．

⒉设，求.

⒊计算不定积分

⒋计算定积分

四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

五季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈函数的定义域是　　　　　　　　．
　⒉若，则　　　　　　　　　　．
　⒊已知，则=　　　　　　　　．
　⒋若　　　　　．
　⒌微分方程的阶数是　　　　　　　　．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
　⒈设函数，则该函数是（　）．
　　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
　⒉当=（ ）时，函数，在处连续.
A．1 　　　B．2 C．　　　　　D．0
⒊满足方程的点一定是函数的（ ）。
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
　⒋设是连续的奇函数，则定积分（ ）　
A．　　B． C．　D． 0
⒌微分方程的通解是（　）
A. ；　B. ；　C. ； D.
　三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限．

⒉设，求.

⒊计算不定积分

⒋计算定积分

四、应用题（本题16分）
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？

微积分习题集答案
一季
一、计算下列极限：（每题5分，共25分）
1．。
2．。
3.
。
4．若时,是等价无穷小,求常数的值.
解：由于时有与，故。
5. 设在处连续，求的值.
解：由左连续与右连续分别得
，
，
所以得及。

二、导数与微分：（每题5分，共25分）
1. 设求
解：两边去对数得 ，再求导得
，整理后得 。
当时有 ，所以。
2．求由方程所确定的曲线在处的切线方程.
解：易知时有。求导得 ，将代入则有，所以切线方程为 。
3．利用微分近似计算,求 的近似值.
解：令，则。
取，，则有，
所以 。
4．设 求
解：，
，
所以，即。
5. 求曲线的拐点.
解：求导得 与 。
显然，当时不存在；当时，所以与是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化，不难看出

所以，与均为曲线的拐点。

三、计算不定积分：（每题6分，共24分）
1．。
2．。
3．：令，，则
。
4．
。

四、计算下列各题：（每小题8分，共16分）
1. 设某商品的价格与需求量的关系为,
(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.
（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性.
解：（1），故，这说明当价格时，若价格上涨（下跌），则需求量近似减少（增加）。
（2）我们知道时，总收益最大。由解得，所以当价格时总收益最大。
2. 设为的原函数,且,已知求
解：因为，所以给定条件等价于，两边关于求积分，则
，从而（）。将代入可得
，所以 ，从而 。

五、证明题：（每小题5分，共10分）
2. 当时, 证明：.
证明：令 ，则 ，当时显然有 ，并且只有在时才有，所以在时为增函数。故当时有，也就是说当时, 。

2. 设连续且，试证明是的极小值点。
证明：由知。又连续，所以。根据定义有
，由第二充分条件即可知是的极小值点。

二季

一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈ ⒉1　⒊ ⒋　 ⒌
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
　⒈C　　　　⒉　B　　⒊D　　　⒋A　　⒌B
三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：原式 11分
⒉解： 9分
11分
⒊解：= 11分
4．解： 11分
四、应用题（本题16分）
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省．
微积分初步期末试题选（一）

1．填空题
（1） 答案：且.
（2）答案：
（3）答案：
（4）答案：

（5）答案：
（6）答案：
（7）答案：1
（8）答案：

2．单项选择题
（1）答案：B （2）答案：C （3）答案：D （4）答案：C
（5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A

3．计算题
（1） 解：
（2） 解：
（3）解：
微积分初步期末试题选（二）

1．填空题
（1）答案：
（2）答案：
（3）答案： ，=27（
（4）答案：，=
（5）答案：，
2.单项选择题
（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C
3．计算题
（1）解：
（2）解：

（3）解：
（4）解：

微积分初步期末试题选（三）

1．填空题
（1）答案：
（2）答案：

2．单项选择题
（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B
3．应用题
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
且，
说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.

解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为 （元）
微积分初步期末试题选（四）

1．填空题
（1）答案： （2）答案：
（3）答案： （4）答案：
（5）答案： （6）答案：
（7）答案： （8） 答案：
（9）答案：0 （10）答案：
2．单项选择题
（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答案：A
（5） 答案：A （6）答案：D
3．计算题
（1）解：
（2）解：
（3）

(4)解：
=
(5);
(6)解：
(7) 解：
微积分初步期末试题选（五）

1．填空题
(1)答案： (2)答案：
(3) 答案： (4)答案： (5)答案：4
2.单项选择题
(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B
三季
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．C； 2． D； 3.B C; 4.A; 5.B C.
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. ２． 2 3．
4．X=2,极小值 5．上升2% 6．
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、求
解：令，则

3、
解：原式=

3、设
解：由 3分
得a=0，b=-2，c取任意实数。 3分
4解： 3分
3分
5、解 2分
2分
2分
6、解： 2分

2分

2分
7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又 ，
求
解：，这时连续 2分
3分
所以 1分
四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。
（3） 求边际收益函数MR和边际成本函数MC；
（4） 求使销售利润最大的商品单价。

解：（1） 3分
（2）利润函数
1分

2分
P=155/2时利润最大。 2分
五、（12分）作函数的图形
答案： （1）定义域是是间断点 1分
（2）渐近线
因故y=0为水平渐近线
因故x=1为垂直渐近线 2分
(3)单调性、极值、凹凸及拐点
令得x=0
令得
拐
点
间断点
再列表

是极小值；拐点是. 6分
(4)选点当 时，y=0;当时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时， 1分
(5)描点作图 略 2分

六、证明题（每题5分，共计10分）
1、设函数在上连续，且在内是常数，证明在上的表达式为

证明：设在（a，b）内任取一点x，在区间[a，x]上由拉格朗日中值定理有： 2分
则 2分
当x=a时，上式也成立。 1分
2、设函数在上可导，且证明在内仅有一个零点。
证明：在内任取一点x，则
3分
令，由f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。 2分

四季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈ ⒉1　⒊ ⒋　 ⒌3
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
　⒈B　　　⒉A　　　　⒊C　　　⒋D　　⒌D
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈解：原式 11分
⒉解： 9分
11分
⒊解：= 11分
⒌解： 11分
四、应用题（本题16分）
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得， 10分
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为 （元） 16分

五季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈ ⒉　⒊ ⒋　 ⒌3
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
　⒈B　　　⒉A　　　　⒊C　　　⒋D　　⒌B

三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：原式 11分
⒉解： 9分
11分
⒊解：= 11分
⒌解： 11分

四、应用题（本题16分）
解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为
于是 =3

令得唯一驻点（舍去） 10分
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省. 16分