2023年人教版中学七7年级下册数学期末学业水平题(及答案).doc

2023年人教版中学七7年级下册数学期末学业水平题（及答案）
一、选择题
1．4的平方根是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±
2．下列所示的车标图案，其中可以看作由基本图案经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果在第三象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．8的立方根是±2
C．实数和数轴上的点是一一对应的
D．平行于同一直线的两条直线平行
5．如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若，则的值是（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3
7．如图，AB//CD，∠EBF＝2∠ABE，∠ECF＝3∠DCE，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）

A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣2）
九、填空题
9．如果，的平方根是，则__________．
十、填空题
10．在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于直线y=x-1对称的点的坐标是_______．
十一、填空题
11．若点A（9﹣a，3﹣a）在第二、四象限的角平分线上，则A点的坐标为_____．
十二、填空题
12．如图，已知AB//EF，∠B=40°，∠E=30°，则∠C-∠D的度数为．

十三、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

十四、填空题
14．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对50进行如下操作：50，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对72只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
十五、填空题
15．已知点M在y轴上，纵坐标为4，点P（6，﹣4），则△OMP的面积是__．
十六、填空题
16．如图，已知A1（1，2），A2（2，2），A3（3，0），A4（4，﹣2），A5（5，﹣2），A6（6，0），…，按这样的规律，则点A2021的坐标为 ____________．

十七、解答题
17．（1）计算：
（2）解方程：
十八、解答题
18．求下列各式中的的值：
（1）；
（2）．
十九、解答题
19．填空并完成以下过程：
已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
请你说明：∠E＝∠F．
解：∵∠BAP ＋∠APD＝180°，（_______）
∴AB∥_______，（___________）
∴∠BAP＝________，（__________）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∠3＝－∠1，
∠4＝_______－∠2，
∴∠3＝________，（等式的性质）
∴AE∥PF，（____________）
∴∠E＝∠F．（___________）

二十、解答题
20．已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；
（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二十一、解答题
21．解下列问题：
（1）已知；求的值．
（2）已知的小数部分为的整数部分为，求的值．
二十二、解答题
22．求下图的方格中阴影部分正方形面积与边长．

二十三、解答题
23．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

二十四、解答题
24．如图1，，在、内有一条折线．

（1）求证：；
（2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系．
二十五、解答题
25．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．

【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
依据平方根的定义：如果x2=a，则x是a的平方根即可得出答案．
【详解】
解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．C
【分析】
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】
解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到
解析：C
【分析】
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】
解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选C．
【点睛】
本题考查生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键．
3．B
【分析】
根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数确定出a、b的正负情况，再求出a+b，ab的正负情况，然后确定出点Q所在的象限，即可得解．
【详解】
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴点Q（a+b，ab）在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（．
4．B
【分析】
根据平行线的判定、对顶角、立方根和实数与数轴关系进行判断即可．
【详解】
解：A、对顶角相等，是真命题；
B、8的立方根是2，原命题是假命题；
C、实数和数轴上的点是一一对应的，是真命题；
D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角、立方根和实数与数轴，属于基础题，难度不大．
5．D
【分析】
①由可得AE∥BD，进而得到，结合即可得到结论；②由得出，结合即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可；
【详解】
∵，
∴AE∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，结论②正确；
∵，
∴，
∵比的余角小，
∴，
∵，，
∴，结论③正确；
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，结论④正确；
故正确的结论是①②③④；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．
6．C
【分析】
根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a，b的值，再代入求解即可．
【详解】
解：
，
当时，；
∴当时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a，b的值是解此题的关键．
7．A
【分析】
由∠EBF＝2∠ABE，可得∠EBF＝2α．由∠EBF+∠BEC+∠F+∠ECF＝360°，可得∠ECF＝360°﹣（2α+β+γ），那么∠DCE＝．由∠BEC＝∠M+∠DCE，可得∠M＝∠BEC﹣∠DCE．根据AB//CD，得∠ABE＝∠M，进而推断出4β﹣α+γ＝360°．
【详解】
解：如图，分别延长BE、CD并交于点M．

∵AB//CD，
∴∠ABE＝∠M．
∵∠EBF＝2∠ABE，∠ABE＝α，
∴∠EBF＝2α．
∵∠EBF+∠BEC+∠F+∠ECF＝360°，
∴∠ECF＝360°﹣（2α+β+γ）．
又∵∠ECF＝3∠DCE，
∴∠DCE＝．
又∵∠BEC＝∠M+∠DCE，
∴∠M＝∠BEC﹣∠DCE＝β﹣．
∴β﹣＝α．
∴4β﹣α+γ＝360°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角度的计算，构造辅助线转化角度是解题的关键．
8．B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），
∴四边形ABCD的周长为1
解析：B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），
∴四边形ABCD的周长为10，
2021÷10的余数为1，
又∵AB=2，
∴细线另一端所在位置的点在A处左面1个单位的位置，坐标为（0，1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形ABCD的周长，属于中考常考题型．
九、填空题
9．-4
【分析】
根据题意先求出 ，再代入，即可．
【详解】
解：∵的平方根是，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键求出的值．
解析：-4
【分析】
根据题意先求出 ，再代入，即可．
【详解】
解：∵的平方根是，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键求出的值．
十、填空题
10．【分析】
如图，设点P关于直线y=x－1的对称点是点Q，过点P作PA∥x轴交直线y=x－1于点A，连接AQ，先由直线y=x－1与两坐标轴的交点坐标确定△OBC是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质
解析：
【分析】
如图，设点P关于直线y=x－1的对称点是点Q，过点P作PA∥x轴交直线y=x－1于点A，连接AQ，先由直线y=x－1与两坐标轴的交点坐标确定△OBC是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质和轴对称的性质可得AP=AQ，∠PAQ=90°，由于点P坐标已知，故可求出点A的坐标，进而可求出点Q坐标．
【详解】
解：如图，设点P关于直线y=x－1的对称点是点Q，过点P作PA∥x轴交直线y=x－1于点A，连接AQ，
设直线y=x－1交x轴于点B，交y轴于点C，则点B（1，0）、点C（0，﹣1），
∴OB=OC=1，∴∠OBC=45°，∴∠PAB=45°，
∵P、Q关于直线y=x－1对称，∴AP=AQ，∠PAB=∠QAB=45°，∴∠PAQ=90°，∴AQ⊥x轴，
∵P（﹣2，3），且当y=3时，3=x﹣1，解得x=4，∴A（4，3），∴AD=3，PA=6=AQ，∴DQ=3，∴点Q的坐标是（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．

【点睛】
本题以平面直角坐标系为载体，考查了直线上点的坐标特点、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点和轴对称的性质是解题关键．
十一、填空题
11．（3，﹣3）．
【分析】
根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到9﹣a+3﹣a＝0，然后解方程即可．
【详解】
∵点P在第二、四象限角平分线上，
∴9﹣a+3﹣a＝0，
∴a＝6，
∴A点的坐标
解析：（3，﹣3）．
【分析】
根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到9﹣a+3﹣a＝0，然后解方程即可．
【详解】
∵点P在第二、四象限角平分线上，
∴9﹣a+3﹣a＝0，
∴a＝6，
∴A点的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：解题的关键是利用坐标特征判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标轴和第一、三象限角平分线、第二、四象限角平分线上点的坐标特征．
十二、填空题
12．10°
【分析】
过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得AB∥CG∥DH∥EF，从而可得∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，即可求解．
【详解】
解析：10°
【分析】
过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得AB∥CG∥DH∥EF，从而可得∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，

∵AB//EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∵∠B=40°，∠E=30°，
∴∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，
∴∠BCD-∠CDE=∠BCG-∠EDH=40°-30°=10°．
故答案为：10°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
十三、填空题
13．．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与
解析：．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
【点睛
本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．
十四、填空题
14．255
【分析】
根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】
解：设这个数是p，
∵[x]=1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵p
解析：255
【分析】
根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】
解：设这个数是p，
∵[x]=1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键．
十五、填空题
15．【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12
解析：【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据三角形的面积公式求解是解题的关键．
十六、填空题
16．（2021，﹣2）
【分析】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【详解
解析：（2021，﹣2）
【分析】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【详解】
解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A6（6，0），
∴OA6＝6，
∵2021÷6＝336…5，
∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，
∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，
∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．
故答案为：（2021，﹣2）．
【点睛】
此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是根据图形的特点发现规律进行求解．
十七、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据实数的运算法则直接计算即可，
（2）利用立方根的含义求解再求解即可．
【详解】
（1）原式=
（2）解：
【点睛】
本题考查的是实数的运算，求一个数的立方根
解析1）；（2）
【分析】
（1）根据实数的运算法则直接计算即可，
（2）利用立方根的含义求解再求解即可．
【详解】
（1）原式=

（2）解：

【点睛】
本题考查的是实数的运算，求一个数的立方根，掌握求解的方法是解题关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）先将原式变形为形式，再利用平方根的定义开平方求出答案；
（2）把先看作一个整体，将原式变形为形式，再利用立方根的定义开立方求出答案．
【详解】
解：（1），
，
，
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）先将原式变形为形式，再利用平方根的定义开平方求出答案；
（2）把先看作一个整体，将原式变形为形式，再利用立方根的定义开立方求出答案．
【详解】
解：（1），
，
，

；
（2），
，
，

解得：．
【点睛】
此题主要考查了平方根以及立方根的定义，正确把握相关定义解方程是解题关键．
十九、解答题
19．已知；CD；同旁内角互补两直线平行；∠APC；两直线平行内错角相等；已知；∠BAP；∠APC；∠4；内错角相等两直线平行；两直线平行内错角相等．
【分析】
根据平行线的性质和判定即可解决问题；
【详
解析：已知；CD；同旁内角互补两直线平行；∠APC；两直线平行内错角相等；已知；∠BAP；∠APC；∠4；内错角相等两直线平行；两直线平行内错角相等．
【分析】
根据平行线的性质和判定即可解决问题；
【详解】
解：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC．（两直线平行内错角相等），
又∵∠1＝∠2，（已知），
∠3＝∠BAP－∠1，
∠4＝∠APC－∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质），
∴AE∥PF．（内错角相等两直线平行），
∴∠E＝∠F．（两直线平行内错角相等）．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法和性质是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）S△ABC＝5；（3）存在，P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
【分析】
（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，ABx轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，点C到线
解析：（1）见解析；（2）S△ABC＝5；（3）存在，P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
【分析】
（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，ABx轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，点C到线段AB的距离3﹣1＝2，根据三角形面积公式求解；
（3）因为AB＝5，要求ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
【详解】
解：（1）描点如图；
（2）依题意，得ABx轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，
∴S△ABC＝×5×2＝5；
（3）存在；
∵AB＝5，S△ABP＝10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．

【点睛】
本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．
二十一、解答题
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用立方根的定义求出答案；
（2）直接估算无理数的取值范围得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】

原式
．
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用立方根的定义求出答案；
（2）直接估算无理数的取值范围得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】

原式
．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
二十二、解答题
22．8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边
解析：8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边长==．
【点睛】
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
二十三、解答题
23．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2
解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，

∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）过点作，根据平行线性质可得；
（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；
（3）由（２）结论可得：．
【详解】
（1）证明：如图1，过
解析：（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）过点作，根据平行线性质可得；
（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；
（3）由（２）结论可得：．
【详解】
（1）证明：如图1，过点作，
∵，
∴
∴，，
又∵，
∴；

（2）如图2，
由（1）可得：，，
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴
，
∴；

（3）由（２）可得：，，
∵，，
∴
，
∴；

【点睛】
考核知识点：平行线性质和判定的综合运用．熟练运用平行线性质和判定是关键．
二十五、解答题
25．（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）设CD与AE交于点H
解析：（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=α+5°，再根据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．
【详解】
解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．理由：如图1，

过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，

∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）∵AI平分∠BAE，
∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，

如图3，∵AB∥CD，
∴∠CHE=∠BAE=2α，
∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，
∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，
又∵∠EDI：∠CDI=2：1，
∴∠CDI=∠EDK=α+5°，
∵∠CHE是△DEH的外角，
∴∠CHE=∠EDH+∠DEK， 即2α=α+5°+α+10°+20°，
解得α=70°，
∴∠EDK=70°+10°=80°，
∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．