函数、导数及其应用达标训练9.doc

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2.8　函数与方程
一、选择题

1．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内(　　)
A．可能有3个实根 B．可能有2个实根
C．有唯一实根 D．没有实根
3．(2015·洛阳期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
4．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
5．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(a)＜f(1)＜f(b)
B．f(a)＜f(b)＜f(1)
C．f(1)＜f(a)＜f(b)
D．f(b)＜f(1)＜f(a)
答案：1．C　2.C　3.C　4.A　5.A

二、填空题
6．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
7．(2015·太原模拟)若函数f(x)＝|x|＋ －(a>0)没有零点，则实数a的取值范围为____________．
8．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是________．
答案：6．7　7.(0，1)∪(2，＋∞)　8.m≤1

三、解答题
9．(2015·深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解析：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

极大值

极小值

当0．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．

10．(2015·郑州模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．

解析：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0即为a(x＋1)(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；
当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x－1＜x＜2}．
(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，
∴x－m＜0，1－an＋ax＞0，∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.

11．已知二次函数f(x)＝x2＋x，若不等式f(－x)＋f(x)≤2|x|的解集为C，
(1)求集合C；
(2)若方程f(ax)－ax＋1＝5(a>0且a≠1)在C上有解，求实数a的取值范围．

解析：(1)f(－x)＋f(x)≤2|x|⇔x2－x＋x2＋x≤2|x|
⇔2x2≤2|x|⇔2|x|2≤2|x|⇔|x|≤1⇔－1≤x≤1.

故C＝{x|－1≤x≤1}．
(2)方程f(ax)－ax＋1＝5即为(ax)2－(a－1)·ax－5＝0.
令u＝ax，则h(u)＝u2－(a－1)u－5，
①a>1时，u∈，要使得h(u)＝0在上有解，
则需∴a≥5.
②0
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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