第八章-欧氏空间.doc

第八章 欧式空间
基础训练题
1、 证明,在一个欧氏空间里,对任意得向量a,b,以下等式成立:
(1) ;
(2) áa,b ñ＝、
[提示:根据向量内积得定义及向量模得定义易证、]
2、 在欧氏空间R4中,求一个单位向量与
a1＝(1, 1, 0, 0),a2＝(1, 1, －1, －1),a3＝(1, －1, 1, －1)
都正交、
解:=、
3、 设a1, a2, …, an就是n个实数,证明:
、
证明: 令a=(1,1, …,1), b=(|a1|,|a2|,…, |an|)
a , b=|a|·|b |=、
4、 试证,欧氏空间中两个向量a, b正交得充分必要条件就是:对任意得实数t,都有
|a＋tb| ³ |a|、
证明: a +tb,a +tb=a , a+2ta , b+t2b , b
必要性: 设a与b正交, 对任意得实数t ,则
a +tb,a +tb=a , a+t2b , b≥a , a
所以 |a＋tb| ³ |a|、
充分性: 当b=0时,结论成立、
当b≠0时,取t0=,则
a +t0b,a +t0b=a , a、 由已知
a +t0b,a +t0b≥a , a
故 =0, 所以a , b= 0、 即a , b正交、
5、 在欧氏空间R4中,求基{a1, a2, a3, a4}得度量矩阵,其中
a1＝(1, 1, 1, 1), a2＝(1, 1, 1, 0), a3＝(1, 1, 0, 0), a4＝(1, 0, 0, 0) 、
解: 度量矩阵为、
6、 在欧氏空间R3中,已知基a1＝(1, 1, 1), a2＝(1, 1, 0), a3＝(1, 0, 0)得度量矩阵为
B＝
求基e1＝(1, 0, 0), e2＝(0, 1, 0), e3＝(0, 0, 1)得度量矩阵、
解: 度量矩阵为 、
7、 证明
a1＝, a2＝
a3＝,a4＝
就是欧氏空间R4得一个规范正交基、
[提示:令u=(a1, a2, a3, a4),计算uuT即可、]
8、 设{e1, e2, e3}就是欧氏空间V得一个基, a1＝e1＋e2, 且基{e1, e2, e3}得度量矩阵就是
A＝、
(1)证明a1就是一个单位向量;
(2)求k,使a1与
b1＝e1＋e2＋ke3
正交、
证明: (1) e1 , e1=1, e1 , e2=, e2 , e2=2
a1 , a1=e1 , e1+2e1 , e2+e2 , e2=1
所以a1一个单位向量、
(2)k=、
9、 证明,如果{e1, e2,…,en}就是欧氏空间V得一个规范正交基,n阶实方阵A＝(aij)就是正交矩阵,令
(h1, h2,…,hn)＝(e1, e2,…,en)A,
那么{h1, h2,…,hn}就是V得规范正交基、
证明: hi,hj== 、
10、 设A就是n阶正交矩阵,证明:
(1)若detA＝1,则－1就是得一个特征根;
(2)若n就是奇数,且detA＝1,则1就是A得一个特征根、
证明:(1)det(－I－A) = det(－A AT－A)
= detA·det(－AT－A)
= detA·det(－I－A)
=－det(－I－A)
所以det(－I－A)=0,即－1就是得一个特征根、
(2)= det(A AT－A)
= detA·det(AT－A)
= detA·(1)n·det(I－A)
=－det(I－A)
所以det(I－A)=0, 即1就是A得一个特征根、
10、 证明,n维欧氏空间V得两个正交变换得乘积就是一个正交变换;一个正交变换得逆变换还就是一个正交变换、
[提示: 根据正交矩阵得乘积就是正交矩阵, 正交矩阵
得逆矩阵就是正交矩阵,结论易证、]
11、 证明,两个对称变换得与还就是对称变换、 两个对称变换得乘积就是不就是对称变换？找出两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件、
证明: 两个对称变换得与还就是对称变换易证、 两个对称变换得乘积不一定就是、例如:令e1 , e2就是R2得一个规范正交基,分别取R2 得两个对称线性变换,使得
＝(e1 , e2) ,
＝(e1 , e2) ,
可以验证不就是对称变换、
两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件就是它们可换、
12、 设就是n维欧氏空间V得一个线性变换,证明,如果s满足下列三个条件中得任意两个,那么它必然满足第三个:(1)s就是正交变换;(2)s就是变换;(3)s2＝i(i就是恒等变换)、
[提示:根据s就是正交变换当且仅当s在一个规范正交基下得矩阵就是正交矩阵, s就是对称变换当且仅当s在一个规范正交基下得矩阵就是对称矩阵, 结论易证、]
13、 设s就是n维欧氏空间V得线性变换,若对于任意a, bÎV, 有ás(a), bñ＝－áa, s(b)ñ,则说s就是斜对称得、 证明
(1) 斜对称变换关于V得任意规范正交基得矩阵都就是斜对称实矩阵;
(2) 若线性变换s关于V得某一规范正交基得矩阵就是斜对称得,则s就是斜对称线性变换、
[提示:证明过程与第八章第三节定理8、3、2(p、349)得证明过程完全类似、]
14、 设s就是欧氏空间V到V ¢得一个同构映射,证明,如果{e1, e2, …, en}就是V得一个规范正交基,则{s(e1), s(e2), …, s(en)}就是V ¢得一个规范正交基、
证明:由(p、253) 定理5、5、3可知, {s(e1), s(e2), …, s(en)}就是V ¢得一个基、
由欧氏空间同构映射得定义可知,
s(ei), s(ej)= ei, ej= ,
所以结论成立、
15、 设s就是n维欧氏空间V得一个正交变换、 证明,如果V得一个子空间W在s之下不变,那么W得正交补也在s之下不变、
证明:因为正交变换就是可逆线性变换,由(p、331)习题七得第13题得结论得: V= 、
因为,且s就是正交变换,所以、
由已知条件知,,且s可逆,因而
从而 ,即、
16、 设{e1,e2,e3,e4}就是欧氏空间V得一个规范正交基,W＝L (a1, a2),其中
a1＝e1＋e3,a2＝2e1－e2＋e4、
(1)求W得一个规范正交基;
(2)求W^得一个规范正交基、
解:取a3=e2, a4=e3,将a1, a2,a3,a4先正交化,然后规范化后得V得一个规范正交基:
b1＝
b2＝
b3＝
b4＝
则{b1,b2}与{b3,b4}分别就是W与W^得一个规范正交基、
17、 求齐次线性方程组
、
得解空间W得一个规范正交基,并求W^、
解: 经计算,得空间W得一个基础解系为
a1=,a2=
将a1, a2扩充为R4得一个基a1, a2, a3=,a4=
将a1, a2,、 a3, a4规范正交化后得W得一个规范正交基
b1 =, b2 =, b3=, b4 =
那么{b1,b2}与{b3,b4}分别就是W与W^得一个规范正交基且W^=￡(b3,b4)、
18、 已知R4得子空间W得一个基
a1＝(1, －1, 1, －1),a2＝(0, 1, 1, 0)
求向量
a＝(1, －3, 1, －3)
在W上得内射影、
解:易求得W^得一个基
a3=(1,0,0,1), a4=(－2, －1,1,0)
则a1, a2, a3, a4就是R4得一个基、
a＝(2a1－a2) +(－3a3+0a4)
所以a在W上得内射映为2a1－a2 、
19、 对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得UTAU就是对角形式:
(1) A＝,(2) A＝、
解:(1)
(2)