第八章-欧氏空间.doc

第八章 欧式空间基础训练题1、 证明,在一个欧氏空间里,对任意得向量a,b,以下等式成立:(1) ; (2) a,b 、提示:根据向量内积得定义及向量模得定义易证、2、 在欧氏空间R4中,求一个单位向量与a1(1, 1, 0, 0),a2(1, 1, 1, 1),a3(1, 1, 1, 1)都正交、解:=、3、 设a1, a2, , an就是n个实数,证明:、证明: 令a=(1,1, ,1), b=(|a1|,|a2|, |an|)a , b=|a|b |=、4、 试证,欧氏空间中两个向量a, b正交得充分必要条件就是:对任意得实数t,都有|atb| |a|、证明: a +tb,a +tb=a , a+2ta , b+t2b , b必要性: 设a与b正交, 对任意得实数t ,则a +tb,a +tb=a , a+t2b , ba , a所以 |atb| |a|、充分性: 当b=0时,结论成立、当b0时,取t0=,则a +t0b,a +t0b=a , a、 由已知 a +t0b,a +t0ba , a故 =0, 所以a , b= 0、 即a , b正交、5、 在欧氏空间R4中,求基a1, a2, a3, a4得度量矩阵,其中 a1(1, 1, 1, 1), a2(1, 1, 1, 0), a3(1, 1, 0, 0), a4(1, 0, 0, 0) 、 解: 度量矩阵为、6、 在欧氏空间R3中,已知基a1(1, 1, 1), a2(1, 1, 0), a3(1, 0, 0)得度量矩阵为B求基e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)得度量矩阵、 解: 度量矩阵为 、7、 证明a1, a2a3,a4就是欧氏空间R4得一个规范正交基、 提示:令u=(a1, a2, a3, a4),计算uuT即可、8、 设e1, e2, e3就是欧氏空间V得一个基, a1e1e2, 且基e1, e2, e3得度量矩阵就是A、(1)证明a1就是一个单位向量;(2)求k,使a1与b1e1e2ke3正交、证明: (1) e1 , e1=1, e1 , e2=, e2 , e2=2a1 , a1=e1 , e1+2e1 , e2+e2 , e2=1所以a1一个单位向量、 (2)k=、9、 证明,如果e1, e2,en就是欧氏空间V得一个规范正交基,n阶实方阵A(aij)就是正交矩阵,令(h1, h2,hn)(e1, e2,en)A,那么h1, h2,hn就是V得规范正交基、 证明: hi,hj= 、10、 设A就是n阶正交矩阵,证明:(1)若detA1,则1就是得一个特征根;(2)若n就是奇数,且detA1,则1就是A得一个特征根、 证明:(1)det(IA) = det(A ATA) = detAdet(ATA)= detAdet(IA)=det(IA)所以det(IA)=0,即1就是得一个特征根、 (2)= det(A ATA) = detAdet(ATA)= detA(1)ndet(IA) =det(IA)所以det(IA)=0, 即1就是A得一个特征根、10、 证明,n维欧氏空间V得两个正交变换得乘积就是一个正交变换;一个正交变换得逆变换还就是一个正交变换、 提示: 根据正交矩阵得乘积就是正交矩阵, 正交矩阵得逆矩阵就是正交矩阵,结论易证、11、 证明,两个对称变换得与还就是对称变换、 两个对称变换得乘积就是不就是对称变换？找出两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件、 证明: 两个对称变换得与还就是对称变换易证、 两个对称变换得乘积不一定就是、例如:令e1 , e2就是R2得一个规范正交基,分别取R2 得两个对称线性变换,使得(e1 , e2) ,(e1 , e2) ,可以验证不就是对称变换、 两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件就是它们可换、12、 设就是n维欧氏空间V得一个线性变换,证明,如果s满足下列三个条件中得任意两个,那么它必然满足第三个:(1)s就是正交变换;(2)s就是变换;(3)s2i(i就是恒等变换)、提示:根据s就是正交变换当且仅当s在一个规范正交基下得矩阵就是正交矩阵, s就是对称变换当且仅当s在一个规范正交基下得矩阵就是对称矩阵, 结论易证、13、 设s就是n维欧氏空间V得线性变换,若对于任意a, bV, 有s(a), ba, s(b),则说s就是斜对称得、 证明(1) 斜对称变换关于V得任意规范正交基得矩阵都就是斜对称实矩阵;(2) 若线性变换s关于V得某一规范正交基得矩阵就是斜对称得,则s就是斜对称线性变换、 提示:证明过程与第八章第三节定理8、3、2(p、349)得证明过程完全类似、14、 设s就是欧氏空间V到V 得一个同构映射,证明,如果e1, e2, , en就是V得一个规范正交基,则s(e1), s(e2), , s(en)就是V 得一个规范正交基、 证明:由(p、253) 定理5、5、3可知, s(e1), s(e2), , s(en)就是V 得一个基、由欧氏空间同构映射得定义可知,s(ei), s(ej)= ei, ej= ,所以结论成立、15、 设s就是n维欧氏空间V得一个正交变换、 证明,如果V得一个子空间W在s之下不变,那么W得正交补也在s之下不变、 证明:因为正交变换就是可逆线性变换,由(p、331)习题七得第13题得结论得: V= 、因为,且s就是正交变换,所以、由已知条件知,且s可逆,因而从而 ,即、16、 设e1,e2,e3,e4就是欧氏空间V得一个规范正交基,WL (a1, a2),其中a1e1e3,a22e1e2e4、(1)求W得一个规范正交基;(2)求W得一个规范正交基、 解:取a3=e2, a4=e3,将a1, a2,a3,a4先正交化,然后规范化后得V得一个规范正交基:b1b2b3b4则b1,b2与b3,b4分别就是W与W得一个规范正交基、 17、 求齐次线性方程组、得解空间W得一个规范正交基,并求W、 解: 经计算,得空间W得一个基础解系为a1=,a2=将a1, a2扩充为R4得一个基a1, a2, a3=,a4=将a1, a2,、 a3, a4规范正交化后得W得一个规范正交基b1 =, b2 =, b3=, b4 =那么b1,b2与b3,b4分别就是W与W得一个规范正交基且W=(b3,b4)、18、 已知R4得子空间W得一个基a1(1, 1, 1, 1),a2(0, 1, 1, 0)求向量a(1, 3, 1, 3)在W上得内射影、 解:易求得W得一个基a3=(1,0,0,1), a4=(2, 1,1,0)则a1, a2, a3, a4就是R4得一个基、a(2a1a2) +(3a3+0a4)所以a在W上得内射映为2a1a2 、19、 对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得UTAU就是对角形式:(1) A,(2) A、解:(1) (2)