菱形-总结版.doc

第一章 特殊的平行四边形
第一节 菱形的性质与判定
性质
判定
除了具有平行四边形的所有性质外，还具有：
（1） 四条边都相等
（2） 对角线互相垂直平分
（3） 每条对角线平分一组对角
（4） 是中心对称图形，也是轴对称图形（两条）
（5） 面积=底*高=对角线乘积的一半
（1） 一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3） 四边相等的四边形是菱形
1.1菱形的性质
一、 菱形的性质
（1）四条边都 ，对边平行且 。
（2）对角 ，邻角 。
（3对角线互相平分且 ，并且每条对角线平分一组 。
（4）是 图形，有 条对称轴，也是 图形。
（5）菱形的面积等于它的两对角线长乘积的 。
二、基础练习
考点一：角
1． 菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为       ，      ，      ，       .
2.如图，P为菱形ABCD的对角线上 一 点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点 F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_____ cm
考点二：对角线与边、面积
1． 菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为         ，周长为        .
2． 菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为           .
3.已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm
4.已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为         .
5.已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离 ．
6.已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是 。
7.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm²．
8.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm．那么，菱形ABCD 的面积是 ， 对角线BD的长是 ．
9、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.

考点三：60°菱形练习（S=a²）
1. 已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是         .
2.菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm和4cm B．4cm和8cm C．8cm和8cm D．4cm和4cm
3. 若菱形的周长为24，一个内角为60°，则菱形的面积为______ 。
4.已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数。

5. 已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。

6. 已知菱形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为      .
7.已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。

考点四：动点练习题
第2题图
1、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______．
第1题图

2、如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在AB上，BE=2a，∠ADC=120°,P点在AC上，求PE+PB的最小值 。
3、 菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°, ∠EAF=60°, ∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F。
（1）当点E、F分别在BC、CD上时，求CE+CF的值
（2）当点E、F分别在CBDC的延长线上时，CE与CF又存在怎样的关系，并证明你的结论。
（3）把题设中“∠EAF=60°”改成“E、F分别是BC、CD的中点”求△AEF的周长

1.2菱形的判定
一、菱形的判定：
（1）一组邻边 的平行四边形是菱形。（2） 条边相等的四边形是菱形。
（3）对角线 的平行四边形是菱形。（4）对角线 的四边形是菱形。
二、基础练习
1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（   ）
　　A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且对角相等
　　C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且平分                   
2．下列说法正确的是（   ）
　　A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是菱形
　　C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．邻边相等的四边形为菱形
3.小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）
A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误 C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误
A
B
C
D

4.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
① ② ③ ④
A、①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、下列条件中，不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（　　）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
6．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE是菱形．

7、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?

8、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

9、如图，中，AB=AC，AD是的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。

三、 角平分线+平行线=======等腰三角形
1、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．

2、如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.

3、如图,在平行四边形ABCD中,AB=2cm，BC=3cm,∠B、∠C的平分线分别交AD于F、E，则EF的长 .
4、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.

四、 折叠题练习
1、（2013山东青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
A
B
C
D
E
F
D′
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论

菱形测试题（一）
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=∠BAC，则菱形的四个内角的度数为 。
3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm².
4.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）
A.168 cm² B.336 cm² C.672 cm² D.84 cm²
5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
6.菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1∶,那么菱形的边长为_______.
7、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是 ，最大值是 。

菱形测试题（二）
1．（2012•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是　_______cm²．
2．（2013•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　_________　．
3．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=　 　度．

2题图 3题图
4．（2014•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，
△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？

5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．