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　 　　 　　　 指数函数
概念:一般地,函数ｙ=ａ＾x(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量,函数得定义域就是Ｒ。

注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数、
　 ⒉指数函数得定义仅就是形式定义。
指数函数得图像与性质:规律:1。 当两个指数函数中得a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
２、当a>1时,底数越大,图像上升得越快,在ｙ轴得右侧,图像越靠近y轴;
　 　　当0＜a〈１时,底数越小,图像下降得越快,在y轴得左侧,图像越靠近y轴。
　　 　在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

３、四字口诀:“大增小减"、即:当ａ>1时,图像在R上就是增函数;当０＜a<1时,图像在Ｒ上就是减函数。

　 4、 指数函数既不就是奇函数也不就是偶函数、
比较幂式大小得方法:
1. 当底数相同时,则利用指数函数得单调性进行比较;
2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论;
3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;
4. 对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
　底数得平移:
　　 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
　 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移、 　 　

对数函数
1、对数函数得概念
由于指数函数y＝ax在定义域(-∞,＋∞)上就是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数ｙ=ａx(a>0,a≠1)得反函数称为对数函数,并记为y=lｏgax(a＞0,ａ≠１)、
因为指数函数y=ax得定义域为(－∞,＋∞),值域为(0,+∞),所以对数函数ｙ=logax得定义域为(0,+∞),值域为(—∞,+∞)。

2。对数函数得图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们得图像对称于直线y=x。 据此即可以画出对数函数得图像,并推知它得性质。
为了研究对数函数y=logａxa＞０,a≠1)得性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x,y=ｌog10ｘ,y＝ｌoｇ1０x,y=ｌｏgx,ｙ=lｏgx得草图

由草图,再结合指数函数得图像与性质,可以归纳、分析出对数函数ｙ=logax(a〉０,ａ≠1)得图像得特征与性质。见下表。

图

象
a〉1
a＜1

性
质
(1)x>0
(2)当ｘ＝1时,y=0
(3)当ｘ＞1时,y＞0
0＜x＜1时,y〈0
(3)当x＞1时,y＜0
0<ｘ<１时,y＞0
(４)在(0,＋∞)上就是增函数
(４)在(0,+∞)上就是减函数
补充
性质
设y1=lｏｇａx 　y2＝logｂx其中a＞1,b〉1(或0〈a＜1 0b则y１＞y２
当0<ｘ＜1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2
比较对数大小得常用方法有:
(１)若底数为同一常数,则可由对数函数得单调性直接进行判断、
(２)若底数为同一字母,则按对数函数得单调性对底数进行分类讨论、
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较、
(４)若底数、真数都不相同,则常借助１、0、—1等中间量进行比较、

3。指数函数与对数函数对比
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a＞0,ａ≠1)
y＝ｌｏgａx(a〉0,ａ≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,＋∞)
(-∞,＋∞)

函
数
值
变
化
情
况
当a>1时,

当０＜a<1时,

当a＞１时

当0〈a＜1时,

单调性
当a>1时,ax就是增函数;
当0＜ａ<1时,ax就是减函数。
当a〉１时,lｏgax就是增函数;
当0图像与性质,列表如下。
从中可以归纳出以下结论:
① 它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限、
② 时,幂函数图像过原点且在上就是增函数、
③ 时,幂函数图像不过原点且在上就是减函数、
④ 何两个幂函数最多有三个公共点、

　奇函数

　 偶函数

非奇非偶函数

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

定义域
R
R
R

奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限得增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减

幂函数(R,就是常数)得图像在第一象限得分布规律就是:

①所有幂函数(Ｒ,就是常数)得图像都过点;
②当时函数得图像都过原点;
③当时,得得图像在第一象限就是第一象限得平分线(如);
④当时,得得图像在第一象限就是“凹型”曲线(如)
⑤当时,得得图像在第一象限就是“凸型"曲线(如)
⑥当时,得得图像不过原点,且在第一象限就是“下滑”曲线(如)
当时,幂函数有下列性质:
（1） 图象都通过点;
（2） 在第一象限内都就是增函数;
（3） 在第一象限内,时,图象就是向下凸得;时,图象就是向上凸得;
（4） (在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展、
当时,幂函数有下列性质:
1） 图象都通过点;
2） 在第一象限内都就是减函数,图象就是向下凸得;
3） 在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;
4） 在第一象限内,过点后,越大,图象下落得速度越快。
无论取任何实数,幂函数得图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限、 　
　 　　 　　 　 　　 　 对号函数
函数(a＞0,b＞0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)得图象似符号“√”而得名,利用对号函数得图象及均值不等式,当x>０时,(当且仅当即时取等号),由此可得函数(a〉0,ｂ＞0,x∈R+)得性质:

当时,函数(a〉0,b〉0,x∈Ｒ+)有最小值,特别地,当a＝ｂ=1时函数有最小值２。函数(a>０,b〉0)在区间(０,)上就是减函数,在区间(,+∞)上就是增函数、
因为函数(ａ>０,ｂ>0)就是奇函数,所以可得函数(a＞0,b>0,x∈Ｒ－)
性质:当时,函数(a〉0b＞０,x∈Ｒ-)有最大值—,特别地,当a＝ｂ=1时函数有最大值-２、函数(ａ>０,b>0)在区间(-∞,—)上就是增函数,在区间(-,０)上就是减函
　 　　　奇函数与偶函数
如果对于函数f(ｘ)得定义域内得任意一个x值,都有f(－x)＝－(x)、那么就称f(ｘ)为奇函数、
如果对于函数f(ｘ)得定义域内得任意一个x值,都有ｆ(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数。
说明:(１)由奇函数、偶函数得定义可知,只有当f(x)得定义域就是关于原点成对称得若干区间时,才有可能就是奇
(2)判断就是不就是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断ｆ(x) 就是不易得、为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(—x),视其结果而说明就是否就是奇函数、用这个方法判断此函数较为方便:f(ｘ) ﻫ　(3)判断函数得奇偶性时,还应注意就是否对定义域内得任何x值,
当x≠0时,显然有f(－x)=—f(x),但当x=０时,f(－x)＝ｆ(x)=1,∴f(ｘ)为非奇非偶函数。 ﻫ　(4)奇函数得图象特征就是关于坐标原点为对称得中心对称图形;偶函数得图象特征就是关于y轴为对称轴得对称图形、　
(５)函数得单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们得定义出发来进行论证。　
例 如果函数f(x)就是奇函数,并且在(0,+∞)上就是增函数,试判断在(－∞,０)上得增减性、 ﻫ 解 设x1,ｘ2∈(-∞,0),且x1＜x2＜0
　则有-x1〉—x2＞0,　ﻫ 　∵ｆ(ｘ)在(0,+∞)上就是增函数, ∴f(－x１)>f(—ｘ2) ﻫ　　又∵ｆ(x)就是奇函数,∴f(x)=-ｆ(x)对任意x成立, ﻫ　 ∴＝-f(x1)>－f(x2)　
　 ∴f(ｘ1)＜f(x2)、 ﻫ　　∴f(ｘ)在(—∞,0)上也为增函数、
　由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上就是增函数,则在(－∞,0)上也必就是增函数,即奇函数在(0,＋∞)上与(－∞,０)上得奇偶性相同。　
类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)与(－∞,0)上得奇偶性恰好相反、
时,f(x)得解析式　ﻫ 解 ∵x＜0,∴—x〉0、　ﻫ　 又∵f(x)就是奇函数,∴f(—x)=－ｆ(x)、
　 　　 　 　 偶函数图象对称性得拓广与应用
我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个ｘ,都有f(-x)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做偶函数、偶函数得图象关于y轴对称,反之亦真、由此可拓广如下:
　 如果存在常数a,b,对于函数ｙ＝f(x)定义域内任意一个ｘ,ａ+ｘ,b—x仍在　　 　(a＋b－ｘ,f(x)),而f(a＋b-x)=f[ａ+(ｂ－ｘ)］＝ｆ[ｂ－(b－x)］＝f(x),对称点P＇(a＋b-ｘ,　　 称: