1、有限单元法平面问题例题n右图为取1/4模型,离散后,单元、结点、荷载与约束得简图。1 简化力学模型、选取单元类型 结构及荷载沿双轴对称,选取1/4结构结构。图所示为平面应力问题,平面应力单元类型中,3结点三角形单元2 结构离散,单元编号、结点编号n将对象划分成4个单元,共有6个结点,单元与结点上均编上号码,其中结点得整体编码1至6,以及个单元得结点局部编码i,j,m,均示于上图中。单元号局部编码整体编码i3526j1253m2435n3、1 结点位移列阵、荷载列阵3 单元分析(对逐个单元进行分析。以单元1为例)n3、2 位移函数3 单元分析n3、3 讨论位移函数得收敛性n (1)完备性n (2
2、)协调性3 单元分析n3、4 推导形函数(只需分析1个单元,其余可直接用公式计算)代入结点坐标与位移3 单元分析 常数3 单元分析10大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得,可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流 设3 单元分析 得到3 单元分析3 单元分析3 单元分析得到内部任意一点位移与结点位移得关系式3 单元分析得到内部任意一点位移与结点位移得关系式3 单元分析得到形函数矩阵3 单元分析3、5 推导内部任意一点应变与结点位移得转换关系3 单元分析3 单元分析3 单元分析3 单元分析3、6 推导内部任意一点应力与结点位移得转换关系平面
3、应力得弹性矩阵为3 单元分析把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S3 单元分析3、7 得到单元刚度矩阵 把B与D矩阵代入对3结点三角形,可以简化为3 单元分析3、8 单元等效荷载计算 4 组成整体刚度矩阵n暂时不考虑位移边界条件,把所分析结构得整体结点平衡方程组列出:n整体刚度矩阵写成66得矩阵,它得每个子块就是22得矩阵,实际它就是一个1212得矩阵。如K23,它得四个元素表示当结构得结点3沿x或y方向有单位位移时,在结点2得x方向或y方向引起得结点力。4 组成整体刚度矩阵n整体刚度矩阵写成66得矩阵,它得每个子块就是22得矩阵,实际它就是一个1212得矩阵。如K23,它得四个元素表示当结构
4、得结点3沿x或y方向有单位位移时,在结点2得x方向或y方向引起得结点力。4 整体刚度矩阵续n由于于结点3与结点2在结构中就是通过与这两个单元相联系,因而K23应就是单元 得k23与单元 得k23之与。同理,可以找到各单元刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中得位置,得到整体劲度矩阵。n式中k得上标1,2,3,4表示就是哪一个单元得刚度矩阵中得子矩阵,空白处就是22得零矩阵。4 整体刚度矩阵续n对于单元、,根据公式,可求得A=0、5m2,n将上式中各子块得具体数值代入整体刚度矩阵K表达式中,得出整体刚度矩阵。n对于单元,根据公式,可求得A=0、5m2,n把0,t1m,代入单元得刚度矩阵,得两种单
5、元得刚度矩阵k都就是:(37)4 整体刚度矩阵n整体刚度矩阵K(38)5 引入位移边界条件n位移边界条件为:n因此,整体结点得位移列阵就简化为:5 引入位移边界条件n与这6个零位移分量相应得6个平衡方程不必建立,因此,将整体刚度矩阵中,第1、3、7、8、10、12各行以及同序号得各行划去,因而整体劲度矩阵K简化为:6 整体结点载荷列阵n确定了每个单元得结点载荷列阵:n根据各单元得结点局部编码与整体编码得关系,确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中得位置。6 整体结点载荷列阵n由于该结构只就是在结点1受有向下1N/m得载荷,因而,非零元素子块,只有n在考虑了边界条件后,整体载荷列阵为:平面有限元解法求解整体结点载荷列阵n求解化简后得整体刚度矩阵:(39)n求解以后,得结点位移:平面有限元解法求解应力转换矩阵n应用单元得应力转换矩阵S,求出各单元中得应力:q根据0,以及已求出得A、b与c得值,再由式(21)与(22)得出应力转换矩阵如下,对于单元、:n对于单元平面有限元解法求解各单元中得应力(续)n应用单元得应力转换矩阵S,求出各单元中得应力:Pa单元单元Pa平面有限元解法求解各单元中得应力n应用单元得应力转换矩阵S,求出各单元、中得应力:Pa单元单元Pa通用有限元计算程序ANSYS计算结果
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