1、
专训2 切线的判定和性质的四种应用类型
名师点金：圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．
应用于求线段的长
1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．
(第1题)
应用于求角的度数
2．【中考·珠海】如图，⊙O经过菱形
2、ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)求∠B的度数．
(第2题)
应用于求圆的半径
3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.
(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.
(第3题)
应用于探究数量和位置关系
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.
(1)猜想
3、线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)求证：PC是⊙O的切线．
(第4题)
答案
1．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OD，如图，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
即∠ADO＋∠1＝90°.
∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1.
又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA.
∴∠CDA＋∠ADO＝90°.
即∠CDO＝90°.
∴OD⊥CD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
(2)
4、∵AC＝2，⊙O的半径是3，
∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.
在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE＝EB，∠CBE＝90°.
设DE＝EB＝x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，
则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6.即BE＝6.
(第1题)
(第2题)
2．(1)证明：连接OA，OB，OC，如图，
∵AB与⊙O相切于A点，∴OA⊥AB.即∠OAB＝90°.
∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC.
又∵OA＝OC，OB＝OB，
∴△ABO≌△CBO(SSS)．
∴∠BCO＝∠B
5、AO＝90°.
∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．
(2)解：如图，连接BD，
∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC.∴点O在BD上．
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，
∴∠BOC＝2∠ODC.
∵CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC.
∴∠BOC＝2∠OBC.
∵∠BOC＋∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝30°.
∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.
3．解：(1)⊙O与BC相切，理由如下：
如图所示，连接OD，OB，
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD.∴∠ODC＝90
6、°.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，AB＝AD＝CD＝CB.
∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，
∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD，
∴△OBC≌△ODC.
∴∠OBC＝∠ODC＝90°.
又∵OB为⊙O的半径，
∴⊙O与BC相切．
(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.
∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∴∠COD＝2∠CAD，
∴∠COD＝2∠ACD.
又∵∠COD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝30°.
∴OD＝OC，即r＝(OE＋CE)＝(r＋2)，∴r＝2.
(第3题)
4．(1)解：猜想：OD∥BC，OD＝BC.
证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.
∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB.
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC.
(第4题)
(2)证明：如图，连接OC，设OP与⊙O交于点E.
∵OP⊥AC，
∴＝，即∠AOE＝∠COE.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP.
∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OCP＝90°.即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
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