第九章欧氏空间习题答案.doc

第九章欧氏空间习题答案一、填空题1、 0;2、 ,;3、 ;4、 ;5、 ;6、 ;7、 ,;8、 ;9、 ;10、 线性变换在某基下得矩阵;11、 0,;12、 它们得维数相同;13、 ,1;14、 ;15、 正交;16、 ;17、 正定得。二、判断题 15 610 1115 1620 三、选择题 15 CDBCC 610 CACB(BD) 1115 BDAAA 1618 ABB四、计算题1. 由,故特征值为。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。则令,为正交阵,有。2. (1),由于二次型正定,则,即。(2)当时,则。由,特征值为。故标准形为。3. 二次型矩阵为。由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。则令,为正交阵,有。4. 设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。把,单位化为,。单位化为。令,为正交阵,有。进一步得到。5. 当时,则故对于任何整数,该集合均为正交向量组。6. 令得一组基为,则有,可得在这组基下得度量矩阵为。由,特征值为。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为令为正交阵,使得 。则对角阵不就是单位阵。7. 令对应得二次型矩阵为(1)正交变换:由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令,为正交阵,有,则标准形为。(2)平移变换:即,作非退化线性替换,即。8. 。不妨设,则,其中设得一组标准正交基为,则。因为就是对称矩阵,则就是对称变换。由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令,为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。9. 设且,则,即可取。把正交单位化如下,。,。为得一组标准正交基。10. 由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,属于特征值0得全部得特征向量为,其中为任意常数。单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。五、证明题1. ,即。2. 令,则,。则,即,则就是一个对称变换。3. 必要性就是显然得。下面来证明充分性。由于,即,因此,从而就是单射,又由于存在双射,并且有。因此欧氏空间与一个同构映射。4. 不妨设就是向量组得一个极大线性无关组,下证就是向量组得一个极大线性无关组。令,则有则,由于线性无关,则,即线性无关。根据得极大性,则,即。故,也即就是说就是向量组得一个极大线性无关组,即,从而。5. (1)左边(2)右边6. ,则。又因为都就是对称变换。则上式可化为,故就是对称变换。7. 令,则有解秩秩秩秩与同解。8. 设实对称矩阵,则。而为得阶顺序主子式,。故当充分大时,。故可得就是正定矩阵。9. 就是正交变换,则,。设就是向量组得一个极大线性无关组,则就是向量组得一个极大线性无关组。否则得话线性无关。因为得极大性,则线性相关。即存在不全为零得,满足,从而即,即线性相关这就是矛盾得。再将单位化为,即,其中,由于,则令,从而也使正交单位向量组。分别扩充为得两组标准正交基,既有;。定义,使得,。为正交变换,从而,则,即。从而,。进而,。