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第九章欧氏空间习题答案
一、填空题
1、 0;2、 ,;3、 ;4、 ;5、 ;6、 ;7、 ,;8、 ;9、 ;10、 线性变换在某基下得矩阵;11、 0,;12、 它们得维数相同;13、 ,1;14、 ;15、 正交;16、 ;17、 正定得。
二、判断题
15 ××√√√ 610 √×√√√ 1115 √√√×√ 1620 √√×√×
三、选择题
15 CDBCC 610 CACB(BD) 1115 BDAAA 1618 ABB
四、计算题
1. 由,故特征值为。
当时,有,则基础解系为,单位化为;
当时,有,则基础解系为,单位化为;
当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
2. (1),由于二次型正定,则,即。
(2)当时,则。
由,特征值为。故标准形为。
3. 二次型矩阵为。由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。
当时,有,则基础解系为,单位化为;
当时,有,则基础解系为,单位化为;
当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
4. 设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。把,单位化为,。单位化为。
令,为正交阵,有。进一步得到。
5. 当时,则
故对于任何整数,该集合均为正交向量组。
6. 令得一组基为,则有
,
可得在这组基下得度量矩阵为。
由,特征值为。
当时,有,则基础解系为,单位化为;
当时,有,则基础解系为,单位化为
令为正交阵,使得 。则对角阵不就是单位阵。
7. 令对应得二次型矩阵为

(1)正交变换:由,故特征值为。
当时,有,则特征向量为,单位化为;
当时,有,则特征向量为,单位化为;
当时,有,则特征向量为,单位化为。
则令,为正交阵,有,
则标准形为。
(2)平移变换:
即,
作非退化线性替换,即。
8. 。
不妨设,则,其中
设得一组标准正交基为,则。
因为就是对称矩阵,则就是对称变换。
由,故特征值为。
当时,有,则特征向量为,单位化为;
当时,有,则特征向量为,单位化为。
则令,为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。
9. 设且,,则
,即可取。把正交单位化如下
,。
,,
。为得一组标准正交基。
10. 由,故特征值为。
当时,有,则特征向量为,属于特征值0得全部得特征向量为,其中为任意常数。
单位化为;
当时,有,则特征向量为,单位化为。
则令为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。
五、证明题
1. ,即。
2. 令,,则,。
则,
,即,则就是一个对称变换。
3. 必要性就是显然得。下面来证明充分性。由于,即,因此,从而就是单射,又由于存在双射,并且有。因此欧氏空间与一个同构映射。
4. 不妨设就是向量组得一个极大线性无关组,下证就是向量组得一个极大线性无关组。
令,则有

则,由于线性无关,
则,即线性无关。
根据得极大性,则,
即。故,也即就是说就是向量组得一个极大线性无关组,即,从而。
5. (1)左边
(2)右边

6. ,则。
又因为都就是对称变换。则上式可化为
,
故就是对称变换。
7. 令,,,则
有解秩秩秩秩与同解。
8. 设实对称矩阵,
则。
而为得阶顺序主子式,。故当充分大时,,。故可得就是正定矩阵。
9. 就是正交变换,则,。
设就是向量组得一个极大线性无关组,则就是向量组得一个极大线性无关组。否则得话线性无关。因为得极大性,则线性相关。即存在不全为零得,满足,从而

即,即线性相关这就是矛盾得。再将单位化为,即,其中,由于,则令,从而也使正交单位向量组。分别扩充为得两组标准正交基,既有
;。定义,使得,。为正交变换,从而,则,即。从而,。进而,。