知识讲解-直线与双曲线的位置关系(理).doc

直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
双曲线
双曲线的定义与标准方程
双曲线的几何性质
直线与双曲线的位置关系
双曲线的综合问题
双曲线的弦问题
双曲线离心率及渐近线问题

【要点梳理】
要点一、双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2

焦点在y轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2
要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、双曲线的几何性质
标准方程

图形

性质
焦点
，
，
焦距

范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点

轴
实轴长=，虚轴长=
离心率

渐近线方程

要点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、双曲线的实际应用与最值问题
对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解
双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
（1） 利用定义转化
（2） 利用双曲线的几何性质
（3） 转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
例1.设F1、F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若，且，其中，求双曲线的离心率．
【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
又|PF1|2＋|PF22＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
又，∴2ac＝2b2，
∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝，
即双曲线的离心率为.
【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
举一反三：
【变式1】求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆共焦点，且过点(－2，)的双曲线；
(2)与双曲线有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线．
【答案】(1)∵椭圆的焦点为(0，±3)，
∴所求双曲线方程设为：，
又点(－2，)在双曲线上，
∴，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．
∴所求双曲线方程为.
(2)∵双曲线的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：，
又点(3，2)在双曲线上，
∴，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为.

【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为(　　)
A．5 B.
C. D.
【答案】C
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【思路点拨】
直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.
【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：
(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈时，直线与双曲线无公共点.
【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：

举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线=－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－x·|x|+y2=1的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
【思路点拨】
显然采用过P点的直线方程与双曲线方程联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和。
【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.
举一反三：
【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。
【答案】（1）
（2）
类型三：双曲线的弦
例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
【思路点拨】
（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。
（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则 ∴，
且，
∴，

得或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即，
即（图象的一部分）
【总结升华】（1）弦长公式；
（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.
举一反三：
【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程
【答案】
【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
类型四：双曲线的综合问题
例5.已知点M(－2,0),N(2,0),动点P满足条件
|PM|－|PN|=2.记动点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
【思路点拨】(Ⅱ)中，选好控制变量----直线的斜率k, 建立目标的函数是关键。
【解析】(Ⅰ) 根据双曲线的定义可得
W的方程为.
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(),(),当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得
故, 所以……

又因为所以从而
当轴时,从而
综上,当AB⊥x轴时, 取得最小值2.
【总结升华】双曲线中的有关最值问题多考虑双曲线的定义、几何性质及函数表示，转化为图形问题和函数的最值问题解决.
举一反三：
【高清课堂：双曲线的性质371712例3】
【变式1】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.
【答案】直线方程；
双曲线方程
【变式2】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标.
【答案】P点的坐标为