第4章理想流体动力学.doc

第4章 理想流体动力学
选择题
【4.1】 【4.1】      如图等直径水管，A—A为过流断面，B—B为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的运动参数有以下关系：（）；（）；（）；（）。

解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规律，即 ，故在同一过流断面上满足 （）
【4.2】 伯努利方程中表示（）单位重量流体具有的机械能；（）单位质量流体具有的机械能；（）单位体积流体具有的机械能；（）通过过流断面流体的总机械能。
解：伯努利方程表示单位重量流体所具有的位置势能、压强势能和动能之和或者是总机械能。故 （）
【4.3】 水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心的压强，有以下关系：（）；（）；（）；（）不定。
解：水平放置的渐扩管由于断面1和2形心高度不变，但因此 （）
【4.4】 粘性流体总水头线沿程的变化是：（）沿程下降；（）沿程上升；（）保持水平；（）前三种情况都有可能。
解：粘性流体由于沿程有能量损失，因此总水头线沿程总是下降的 （）
【4.5】 粘性流体测压管水头线沿程的变化是：（）沿程下降；（）沿程上升；（）保持水平；（）前三种情况都有可能。
解：粘性流体测压管水头线表示单位重量流体所具有的势能，因此沿程的变化是不一定的。 （）

计算题
【4.6】 如图，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。试求：（1）管内的流量；（2）管内最高点S的压强；（3）若h不变，点S继续升高（即a增大，而上端管口始终浸入水内），问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大。
解：(1)以水箱底面为基准，对自由液面上的点1和虹吸管下端出口处2建立1-2流线伯努利方程，则

其中 ，
，

则
管内体积流量
(2)以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点列1-流
线伯努利方程。则
其中 ,,
,,

即9 807
即点的真空压强
(3)当不变，点增大时，当点的压强等于水的汽化压强时， 此时点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下（15 ℃）水的汽化压强为1 697（绝对压强）以管口2为基准，列点的伯
努利方程，

其中 ，，
，
， （大气绝对压强）
即
本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由于为绝对压强，因此出口处也要绝对压强。
【4.7】 如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面积分别为A1与A2，试问h1与h2成什么关系时流动处于恒定状态，这时需在左边水箱补充多大的流量。
解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流线伯努利方程
其中
，

则
以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面1到出口处2列流线伯 努利方程
其中 ，
，

故
当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱流入右 水箱的流量及补充入左水量的流量均相等，即
即
或者
且左水箱需补充的流量为
本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从1-4直接列一条流线。
【4.8】 如图，水从密闭容器中恒定出流，经一变截面管而流入大气中，已知H=7m,= 0.3,A1=A3=50cm2，A2=100cm2，A4=25cm2，若不计流动损失，试求：（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量；（2）各截面上的总水头。
解：（1）以管口4为基准，从密闭容器自由液面上0点到变截面管出口处4列0－4流线伯努利方程，

其中 ，

即

由连续性原理，由于 故
又 由于
故
由于
故
流经管路的体积流量
（2）以管口为基准，该处总水头等于，由于不计粘性损失，因此各截面上总水头均等于。
【4.9】 如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股射流在O点相交,试证明。
解： 列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到小孔处出流速度。此公式称托里拆利公式（Toricelli），它在形式上与初始速度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性的结果。
由 公式，分别算出流体下落距离所需的时间，其中

经过及时间后，两孔射流在某处相交，它们的水平距离相等， 即 ，
其中 ，，
因此
即
【4.10】 如图， Venturi管A处的直径d1=20cm，B处的直径d2=2cm。当阀门D关闭，阀门C开启时测得U型压力计中水银柱的差h=8mm，求此时Venturi管内的流量。又若将阀门C关闭，阀门D开启，利用管中的射流将真空容器内的压强减至100mm（水银柱）时，管内的流量应为多大。
解：由于本题流体是空气，因此忽略其重力。
从A至B两过流断面列总流伯努利方程

因此 （）
若，处的截面面积各为及，由连续方程

得
将上式代入（）式

得
则文丘里管中的流量
倘若阀门C关闭，阀门D开启时，真空容器内的压强减至水 银柱时，
则
即
此时流量

【4.11】 如图，一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部有一泄流管，直径d=0.6m，流量因数μ＝0.8，容器内初始水深h=3m，水面直径D=60m，当水位降落1.2m后，水面直径为48m，求此过程所需时间。
解：本题按小孔出流，设某时刻时，水面已降至处，
则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为

储水池锥度为，因此当水面降至处时，水面的直径为

由连续方程 在时间内流出的水量等于液面下降的水量

故

由于
故

本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很复杂，为此将整个过程微分，每个微分时间内作为恒定流来处理，然后应用积分的方法来求解。
【4.12】 如图，水箱通过宽B=0.9m，高H=1.2m的闸门往外泄流，闸门开口的顶端距水面h=0.6m。试计算（1）闸门开口的理论流量；（2）将开口作为小孔处理时所引起的百分误差。
解：（1）由图
由于，故本题应按大孔出流来处理，将大孔口，沿水平 方向分割成许多小孔，然后对于每一小孔按Torricelli定理
出流速度，小孔面积
理论出流量为
总出流量

（2）当按小孔出流处理时，
出流量
两者引起的相对误差为

【4.13】 今想利用水箱A中水的流动来吸出水槽B中的水。水箱及管道各部分的截面积及速度如图所示。试求（1）使最小截面处压强低于大气压的条件；（2）从水槽B中把水吸出的条件。（在此假定<<,<<以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。）
解：（1）在及的假定下，本题可看作小孔出流
由Torricelli定理
以处为基准，对水箱自由液面及最小截面建立总流伯努利方程 其中 ，
故
要使最小截面处压强低于大气压即为负值必须使
由连续方程 得
故

得此时的条件应为
（2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为或者
将 代入
即 或者 ，
由于 将上述不等式代入
得
【4.14】 如图，一消防水枪，向上倾角水管直径D=150mm，压力表读数p=3m水柱高，喷嘴直径d=75mm，求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的射流直径。
解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程

其中
得
另外，由连续方程
得
上式代入式得
因此
设最高点位置为，则根据质点的上抛运动有

射流至最高点时，仅有水平速度，列喷咀出口处2至 最高点处3的伯努利方程（在大气中压强均为零）。

得
或者水平速度始终是不变的
由连续方程，最高点射流直径为

故

【4.15】 如图，水以V=10m/s的速度从内径为50mm的喷管中喷出，喷管的一端则用螺栓固定在内径为100mm水管的法兰上，如不计损失，试求作用在连接螺栓上的拉力。
解：由连续方程
故
对喷管的入口及出口列总流伯努利方程

其中
得
取控制面,并建立坐标如图,设喷管对流体的作用力为。 动量定理为

即
故

则作用在连接螺栓上的拉力大小为220.8方向同方向相反.
【4.16】 将一平板伸到水柱内，板面垂直于水柱的轴线，水柱被截后的流动如图所示。已知水柱的流量Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏转角（略去水的重量及粘性）。
解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知
由连续方程

取封闭的控制面如图，并建立坐标，设平板对射流柱的作用力为 （由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定理
方向：
即
方向：
即
故
代入式
即作用在板上合力大小为，方向与方向相反
【4.17】 一水射流对弯曲对称叶片的冲击如图所示，试就下面两种情况求射流对叶片的作用力：（1）喷嘴和叶片都固定；（2）喷嘴固定，叶片以速度后退。
解：(1)射流四周均为大气压，且不计重力，由伯努利方程，各断面上的流速均相同。取封闭控制面如图，并建立坐标，
当叶片喷咀均固定时，设流体受到叶片的作用力为
由动量定理
方向：
即

得
叶片受到射流对其作用力大小为，方向与方向相反。
(2)当控制体在作匀速运动时，由于固结于控制体上的坐标系仍是惯性 系，在动量定理中只要将相对速度代替绝对速度即可。
现当叶片以速度后退，此时射流相对于固结于叶片上的控制面的相 对速度为，因此叶片受到的力大小为

例如，当时，
则

【4.18】 如图,锅炉省煤气的进口处测得烟气负压h1=10.5mmH2O，出口负压h2=20mmH2O。如炉外空气ρ=1.2kg/m3，烟气的密度ρ'= 0.6 kg/m3，两测压断面高度差H=5m，试求烟气通过省煤气的压强损失。
解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。由进口断面1至出口断面2列伯努利方程

式中

故
得
【4.19】 如图,直径为d1700mm的管道在支承水平面上分支为d2=500mm的两支管，A—A断面的压强为70kN/m2，管道流量Q=0.6m3/s，两支管流量相等。（1）不计水头损失，求支墩受的水平推力；（2）若水头损失为支管流速水头的5倍，求支墩受的水平推力。（不考虑螺栓连接的作用）
解：(1)在总管上过流断面上平均流速为
在两支管上过流断面上平均流速为

列理想流体的断面的伯努利方程

式中

因此
解得
取封闭的控制面如图，并建立坐标，设三通管对控制面内流体作用 力为
由动量定理
即

即

则支墩受到的水平推力大小为，方向与图中方向相反。
（2）当考虑粘性流体时，只要在伯努利方程中考虑水头损失即可。
列断面粘性流体的伯努利方程

式中
其它同上
则

以此代入上述动量定理式中解得
【4.20】 【4.20】   下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图所示的恒定流作用。问秤的读数是多少。

解：水从上、下水箱底孔中出流速度由Torricelli定理得

流量
而流入下水箱时的流速，由伯努利方程

式中，

则
设封闭的控制面如图，设下水箱中水受到重力为,水箱对其作用力为,并建立坐标轴
由动量定理
即
即
因此秤的读数水箱自重+流体对水箱的作用力