1、
专训2 线段垂直平分线与角平分线的应用类型
名师点金：本章内容除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数，说明数量关系等，还可以解决实际生活中的问题．
利用线段垂直平分线的性质求线段的长
1．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
(第1题)
利用线段垂直平分线的性质求角的度数
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，A
2、D将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．
(第2题)
利用线段垂直平分线的性质解决实际问题
3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
(第3题)
利用角平分线的性质解决面积问题
4．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积．
(第4题)
利用角平分线的性质说明线段的数量关系
5．
3、如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.试说明：PC＝PD.
(第5题)
答案
1．解：因为△ACD的周长是14 cm，
所以AD＋CD＋AC＝14 cm.
又因为DE是BC的垂直平分线，
所以BD＝CD.所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB.
所以AB＋AC＝14 cm.
因为AB－AC＝3 cm，所以AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm.
2．解：因为∠1∶∠2＝2∶5，
所以设∠1＝2x，则∠2＝5x.
因为DE是线段AB的垂直平分线，
所
4、以AD＝BD.
所以∠B＝∠2＝5x.
所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x.
因为在△ADC中，2x＋10x＝90°，
解得x＝7.5°，所以∠ADC＝10x＝75°.
(第3题)
3．解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．
点拨：解决作图选点类问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找．
4．解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为
5、点E，F.
(第4题)
因为BO是∠ABC的平分线，
且OD⊥BC，OE⊥AB，
所以OE＝OD＝3 cm.
同理OF＝OD＝3 cm.
所以S△ABC＝S△BOC＋S△ABO＋S△ACO＝BC·OD＋AB·OE＋AC·OF＝(BC＋AB＋AC)·OD＝×20×3＝30(cm2)．
(第5题)
5．解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
所以∠PEC＝∠PFD＝90°.
因为OM是∠AOB的平分线，
所以PE＝PF.
因为∠AOB＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
所以由平行线的判别条件和性质可推出∠EPF＝90°.
所以∠EPF＝∠CPD＝90°.
所以∠CPE＝∠DPF.
在△PCE和△PDF中，
所以△PCE≌△PDF(ASA)．
所以PC＝PD.
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