高中绝对值不等式.doc

x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5

［变题1］解下列不等式：(1)|+1|>2－；(2)|－2－6|<3
［思路］利用｜f(x)｜<g(x) -g(x)或无解，所以原不等式的解集是{|>}
(2)原不等式等价于－3<－2－6<3
即
2<<6
所以原不等式的解集是{|2<<6}>x2-3x-4；（2）≤1
解：（1）分析一  可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于：
x-x2-2>x2-3x-4 ①
或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得：1--3
故原不等式解集为｛x｜x>-3｝
分析二  ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜
而x2-x+2＝(x-)2+>0
所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4
解得：x>-3
∴  原不等式解集为｛x>-3｝
（2）分析  不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式≤1两边均为正，所以可平方后求解.
原不等式等价于≤1
9x2≤(x2-4)2  (x≠±2)
x4-17x2+16≥0
x2≤1或x2≥16
-1≤x≤1或x≥4或x≤-4
注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变  含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|－1|<|+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.
［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|－1|≥0，|+|≥0，所以两边平方后有：
|－1|<|+|
即有－2+1<+2+，整理得(2+2)>1－
当2+2>0即>－1时，不等式的解为>(1－)；
当2+2=0即=－1时，不等式无解；
当2+2<0即<－1时，不等式的解为<>5.
解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.
当-355>5无解.
当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.
综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝. 1="">0且≠1)
解析：易知－1<<1，换成常用对数得：
∴
于是
∴
∴
∵－1<<1
∴0<1－<1
∴(1－)<0
∴<0
∴
解得0<lt;1
2．不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为 x="">2
    当-32
故填。
3．求不等式的解集.
解：因为对数必须有意义，即解不等式组
，解得
又原不等式可化为
(1)当时，不等式化为即
∴   ∴    综合前提得：。
(2)当10时，进一步化为，依题意有，此时无解。
当=0时，显然不满足题意。
当<0时，，依题意有
综上，=－2。

第4变  含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<>1
② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。 1="">1时，|－4|+|3－lt;有解>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解>恒成立，求的取值范围。
思维点拨：要使|+1|－|－2|>对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|gt;成立
∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3
故当<－3时，原不等式恒成立 3="" o="" -3="">恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可。
故<－3满足题意。>a恒成立，求实数a的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即
时取等号。故a<3 a="">0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围
分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1
    当|x-4|+|x-3|1
（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|
|PA|+|PB|1        恒有y1
数按题意只须a>1                        A  B    P
                             0         3  4     x

（四）考虑|z-4|+|z-3|1.
变题：

1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围

第5变  绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数，当时，求证：
；
，则当时，求证：。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、、来表示,。因为由已知条件得，，。
［解题］证明：(1)由，从而有

(2)由
从而    
将以上三式代入，并整理得

［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 o="" y="" x="">”“=”合成的，故不等式可转化为 或。
   解得：原不等式的解集为

2、.
解：
+
，用根轴法（零点分段法）画图如下：

 原不等式的解集为。

3、
解：原式等价于
    ，即 注：此为关键
原不等式等价于不等式组解得：

4、
解：当时，原不等式化为，得；
  &nbsp;当时，原不等式化为，得；
   当时，原不等式化为，得；
   当时，原不等式化为，得；
   当时，原不等式化为，得
   综合上面各式，得原不等式的解集为：

5、关于的不等式的解集为，求的解集。
解：由题意得：，且
   则不等式与不等式组同解
   得所求解集为

6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。
解：关于的不等式的解集是，，
或
 原不等式的解集是。

三、证明题

2、设,为偶数,证明  
证：  .
 ①当时, ,0 ,
 ∴0 ,故 ;
 ②当有一个负值时,不妨设,且,即 .
 ∵为偶数时,∴0 ,且
∴0 ,故 .
    综合①②可知,原不等式成立
    注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0

3、求证：    
证：设向量 ,由 ,得

注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。
当利用公式证明时，会得：
的错误结论，因为这里取等号
的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，
计算的结果也使不等式范围缩小了。

4、求证： （）
证一：（）

原不等式成立，证毕。
证二：当时，原不等式为：，显然成立；
     假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则

      ，即取时原不等式也成立。
     综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。  
     注意：此类证明方法称为数学归纳法
  &nbsp;
5、设，实数满足，求证：
证：
=
当，
‚当，
ƒ当，
综合‚ƒ式情况，原不等式成立。证毕
注：‚ƒ式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用
  同号
  异号

6、已知：，求证：
证：由已知得：，即
   ，及基本不等式，代入式得：
     解得；
     ，由式得，
     综上得：。 证毕。

7、已知,证明：
证：，       nbsp;  
        ，（）同理得：
     ‚，ƒ
‚ƒ式两边相加，得

所以原不等式成立，证毕。
注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得。