河北省廊坊市廊坊四中2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义(含知识点、例题、练习题和答案).doc

河北省廊坊市廊坊四中2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题和答案）正方形知识精讲一正方形的定义有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形二正方形的性质1正方形的四条边都相等，四个角都是直角；2正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质3正方形是轴对称图形，对称轴有4条三正方形的判定1有一组邻边相等的矩形是正方形；2有一个角是直角的菱形是正方形；3对角线互相垂直的矩形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；6四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形四弦图模型如图1，RtDCERtCAF；如图2，RtBAERtCBF三点剖析一考点：1正方形的性质；2正方形的判定；3弦图模型二重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型三易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别例题讲解一：性质例2.1.1如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若CBF=20，则AED等于度【答案】65【解析】正方形ABCD，AB=AD，BAE=DAE，在ABE与ADE中，ABEADE（SAS），AEB=AED，ABE=ADE，CBF=20，ABE=70，AED=AEB=1804570=65，例2.1.2如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A4B3C2+D【答案】C【解析】过点M作MFAC于点F，如图所示MC平分ACB，四边形ABCD为正方形，CAB=45，FM=BM在RtAFM中，AFM=90，FAM=45，AM=2，FM=AMsinFAM=AB=AM+MB=2+例2.1.3如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2【答案】D【解析】过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，四边形ABCD是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分线，EPC=EQC=90，EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，正方形ABCD的边长为a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面积=aa=a2，四边形EMCN的面积=a2，故选：D例2.1.4如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG（1）求证：ABGAFG；（2）求BG的长【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，D=B=BCD=90，将ADE沿AE对折至AFE，AD=AF，DE=EF，D=AFE=90，AB=AF，B=AFG=90，又AG=AG，在RtABG和RtAFG中，ABGAFG（HL）；（2）ABGAFG，BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6x，E为CD的中点，CE=EF=DE=3，EG=3+x，在RtCEG中，32+（6x）2=（3+x）2，解得x=2，BG=2二：判定例2.2.1已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A选B选C选D选【答案】B【解析】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意故选：B例2.2.2如图，是的垂直平分线，交于点，过点作，垂足分别为、（1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形【答案】见解析【解析】（1）是的垂直平分线，又（2），即，四边形AEMF是矩形，又CAB=DAB，MEAC，MFAD，矩形是正方形例2.2.3如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF（1分）DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45EAF=90（3分）又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90（4分）又AE=AD，AF=AD，AE=AF（5分）四边形AEGF是正方形（6分）（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）BD=2，DC=3，BE=2，CF=3BG=x-2，CG=x-3（9分）在RtBGC中，BG2+CG2=BC2（x-2）2+（x-3）2=52（11分），（x-2）2+（x-3）2=52，化简得，x2-5x-6=0解得x1=6，x2=-1（舍），所以AD=x=6（12分）三：弦图例2.3.1如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_【答案】13【解析】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFBAED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13ABCD是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa于点F，DEa于点E，在RtAFB和RtAED中，AFBAED（AAS），AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13故答案为：13例2.3.2如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作，作BM于M，DN于N，直线MB、ND分别交于Q、P求证：四边形PQMN是正方形【答案】见解析【解析】，BM，DN，四边形PQMN为矩形， ，又，RtABMRtDAN（HL），同理，即四边形PQMN是正方形随堂练习2.1如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是_.【答案】45【解析】四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=90等边三角形ADE，AD=AE，DAE=AED=60BAE=BAD+DAE=90+60=150，AB=AE，AEB=ABE=（180BAE）2=15，BED=DAEAEB=6015=45.2.2如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为_ABCD3【答案】B【解析】此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3，根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，设DF=x，则EF=EG+GF=1+x，FC=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2，在RtEFC中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3-x）2，解得：x=，DF=，EF=1+=故选B2.3如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5BCD2【答案】B【解析】如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中点，CH=AF=2=故选：B2.4如图，矩形中，点从向以每秒个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形，同时垂直于的直线也从向D以每秒个单位的速度运动，当经过_秒时，直线和正方形开始有公共点？【答案】【解析】过点作于点，在正方形中，在和中，当直线和正方形开始有公共点时：，解得：故当经过秒时直线和正方形开始有公共点2.5如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小【答案】（1）见解析（2）80【解析】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得AEBCFB，找出相等的线段（1）利用AEBCFB来求证AE=CF（2）利用角的关系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得结果（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，FBE=90，ABE+EBC=90，CBF+EBC=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）解：BEBF，FBE=90，又BE=BF，BEF=EFB=45，四边形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=90-55=35，EGC=EBG+BEF=45+35=802.6如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE=_【答案】-1 【解析】过E作EFDC于F，四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于点E，EO=EF，在RtCOE和RtCFE中，RtCOERtCFE（HL），CO=FC，正方形ABCD的边长为1，AC=，CO=AC=，CF=CO=，EF=DF=DC-CF=1-，DE=-1，另法：因为四边形ABCD是正方形，ACB=45=DBC=DAC，CE平分ACD交BD于点E，ACE=DCE=22.5，BCE=45+22.5=67.5，CBE=45，BEC=67.5，BE=BC，正方形ABCD的边长为1，BC=1，BE=1，正方形ABCD的边长为1，AC=，DE=-1，故答案为：-12.7如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是_ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF【答案】D【解析】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，BF=BE，BE=EC=CF=BF，四边形BECF是菱形；当BC=AC时，ACB=90，则A=45时，菱形BECF是正方形A=45，ACB=90，EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故选项A正确，但不符合题意；当CFBF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意故选：D2.8如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）30【解析】（1）证明：四边形ABCD为正方形AB=AD=CD，BAD=ADC=90三角形ADE为正三角形AE=AD=DE，EAD=EDA=60BAE=CDE=150在BAE和CDE中，BAECDEBE=CE；（2）AB=AD，AD=AE，AB=AE，ABE=AEB，又BAE=150，ABE=AEB=15，同理：CED=15BEC=60152=302.9如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90到EF，连接CF（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当BAE=30时，求CF的长【答案】（1）见解析（2）【解析】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等（1）过点F作FGBC于点G，易证ABEEGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到FCG=45，即CF平分DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在RtCFG中，利用cos45即可求出CF的长（1）证明：过点F作FGBC于点GAEF=B=90，1=2在ABE和EGF中，ABEEGF（AAS）AB=EG，BE=FG又AB=BC，BE=CG，FG=CG，FCG=45，即CF平分DCG，CF是正方形ABCD外角的平分线（2）AB=3，BAE=30，tan30=，BE=ABtan30=3，即CG=在RtCFG中，cos45=，CF=16 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