1、平面向量讲义2.1平面向量的实际背景及基本概念1向量:既有_,又有_的量叫向量2向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作_3向量的有关概念:(1)零向量:长度为_的向量叫做零向量,记作_(2)单位向量:长度为_的向量叫做单位向量(3)相等向量:_且_的向量叫做相等向量(4)平行向量(共线向量):方向_的_向量叫做平行向量,也叫共线向量记法:向量a平行于b,记作_规定:零向量与_平行考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确,并说明理由若ab,则a一定不与b共线;若,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;在平行四边形ABCD中,一定有;若向量a与任一向量b平行,则a0;若ab,bc
2、,则ac;若ab,bc,则ac.变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由(1)若向量a与b同向,且|a|b|,则ab;(2)若向量|a|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3)对于任意|a|b|,且a与b的方向相同,则ab;(4)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、;(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且a,b,c.(1)与a的模相等的向量有多
3、少个?(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?(3)与a共线的向量有哪些?(4)请一一列出与a,b,c相等的向量2.2平面向量的线性运算1向量的加法法则(1)三角形法则如图所示,已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作a,b,则向量_叫做a与b的和(或和向量),记作_,即ab_.上述求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a0_.(2)平行四边形法则如图所示,已知两个不共线向量a,b,作a,b,则O、A、B三点不共线,以_,_为邻边作_,则对角线上的向量_ab,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则2向量加法的运算律(1)交换律:ab_.(2)结合律
4、:(ab)c_.3. 相反向量(1)定义:如果两个向量长度_,而方向_,那么称这两个向量是相反向量(2)性质:对于相反向量有:a(a)_.若a,b互为相反向量,则a_,ab_.零向量的相反向量仍是_ 4. 向量的减法(1)定义:aba(b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_(2)作法:在平面内任取一点O,作a,b,则向量ab_.如图所示(3)几何意义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为_,被减向量的终点为_的向量例如:_.5向量数乘运算实数与向量a的积是一个_,这种运算叫做向量的_,记作_,其长度与方向规定如下:(1)|a|_.(2)a (a0)的方向;特别地
5、,当0或a0时,0a_或0_.6向量数乘的运算律(1)(a)_.(2)()a_.(3)(ab)_.特别地,有()a_;(ab)_.7共线向量定理向量a (a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使_8向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数、1、2,恒有(1a2b)_.考点一运用向量加法法则作和向量例1如图所示,已知向量a、b,求作向量ab.变式训练1如图所示,已知向量a、b、c,试作和向量abc.考点二运用向量加减法法则化简向量例2化简:(1); (2); (3).(4)()() (5)()();(6)()()变式训练2如图,在平行四边形ABC
6、D中,O是AC和BD的交点(1)_;(2)_;(3)_;(4)_.变式训练3如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设a,b,c,求证:bca. 考点三 向量的共线例3设e1,e2是两个不共线的向量,若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线,则()Ak0 Bk1Ck2 Dk 变式训练4 已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且,则()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上 考点四:三点共线例4两个非零向量a、b不共线(1)若Aab,B2a8b,C3(ab),求证:A、B、D三点共线;(2)求实数k使kab与2akb共线变式训
7、练5 已知向量a、b,且a2b,5a6b,7a2b,则一定共线的三点是() AB、C、D BA、B、C CA、B、D DA、C、D变式训练6 已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且xy, 则xy_.2.3平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的_向量a,_实数1,2,使a_.(2)基底:把_的向量e1,e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底2.两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个_a和b,作a,b,则_ (0180),叫做向量a与b的夹角范围:向量a与b的夹角的范围是_当0时,a与b_.当180时
8、,a与b_.(2)垂直:如果a与b的夹角是_,则称a与b垂直,记作_3平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个_的向量,叫作把向量正交分解(2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个_i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使得a_,则_叫作向量a的坐标,_叫作向量的坐标表示(3)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若A(x,y),则_,若A(x1,y1),B(x2,y2),则_.4平面向量的坐标运算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1,y1),
9、b(x2,y2),则ab_,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x,y),R,则a_,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标5两向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2)(1)当ab时,有_(2)当ab且x2y20时,有_即两向量的相应坐标成比例6若,则P与P1、P2三点共线当_时,P位于线段P1P2的内部,特别地1时,P为线段P1P2的中点;当_时,P位于线段P1P2的延长线上;当_时,P位于线段P1P2的反向延长线上考点一对基底概念的理解例1如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()e1e2(、R)可以表示平面内的
10、所有向量;对于平面内任一向量a,使ae1e2的实数对(,)有无穷多个;若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个实数,使得1e11e2(2e12e2);若存在实数,使得e1e20,则0.A B C D变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:e1与e1e2;e12e2与e22e1;e12e2与4e22e1;e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例2如图,梯形ABCD中,ABCD,且AB2CD,M、N分别是DC和AB的中点,若a,b试用a,b表示、.变式训练2如图,已知ABC中,D为BC的中点,E
11、,F为BC的三等分点,若a,b,用a,b表示,. 考点三平面向量基本定理的应用例3如图所示,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN2NC,AM与BN相交于点P,求证:APPM41. 变式训练3如图所示,已知AOB中,点C是以A为中点的点B的对称点,2,DC和OA交于点E,设a,b.(1)用a和b表示向量、;(2)若,求实数的值 考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2,4),B(0,6),C(8,10),求(1);(2)2;(3).变式训练4已知a(1,2),b(2,1),求:(1)2a3b;(2)a3b;(3)ab.考点五平面向量的坐标表示例5已知a(2,3),b(3,
12、1),c(10,4),试用a,b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ai(2m1)j,b2imj (mR),已知ab,求向量a、b的坐标考点六平面向量坐标的应用例6已知ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),求顶点D的坐标变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,2),求第四个顶点的坐标考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时,kab与a3b平行?平行时它们是同向还是反向?变式训练7已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,3)判断与是否共线?如果共线,它们的方向相
13、同还是相反?考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3,4)与点B(1,2),点P在直线AB上,且|2|,求点P的坐标变式训练8已知点A(1,2),若向量与a(2,3)同向,|2,求点B的坐标考点九利用共线向量求直线的交点例9如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标 变式训练9平面上有A(2,1),B(1,4),D(4,3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC,点E在CD上,且,求E点坐标2.4平面向量的数量积1平面向量数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos ,其中是a与b的夹角
14、(2)规定:零向量与任一向量的数量积为_(3)投影:设两个非零向量a、b的夹角为,则向量a在b方向的投影是_,向量b在a方向上的投影是_2数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3向量数量积的运算律(1)ab_(交换律);(2)(a)b_(结合律);(3)(ab)c_(分配律)4平面向量数量积的坐标表示若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_.即两个向量的数量积等于_5两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_.6平面向量的模(1)向量模公式:设a(x1,y1),则|a|_.(2)两点间距离公式:若A
15、(x1,y1),B(x2,y2),则|_.7向量的夹角公式设两非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角为,则cos _.考点一求两向量的数量积例1已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积变式训练1已知正三角形ABC的边长为1,求:(1);(2);(3).考点二求向量的模长例2已知|a|b|5,向量a与b的夹角为,求|ab|,|ab|.变式训练2已知|a|b|1,|3a2b|3,求|3ab|.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a2mn与b2n3m的夹角变式训练3已知|a|5,|b|4
16、,且a与b的夹角为60,则当k为何值时,向量kab与a2b垂直?考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向,b(1,2),ab10.(1)求a的坐标;(2)若c(2,1),求a(bc)及(ab)c.变式训练4若a(2,3),b(1,2),c(2,1),则(ab)c_;a(bc)_.考点五向量的夹角问题例5已知a(1,2),b(1,),分别确定实数的取值范围,使得:(1)a与b的夹角为直角;(2)a与b的夹角为钝角;(3)a与b的夹角为锐角变式训练5已知a(1,1),b(,1),若a与b的夹角为钝角,求的取值范围考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在ABC中,A(2,1)、B(3,2)、C(3,1
17、),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB,B90,求点B和的坐标2.5平面向量应用举例1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:ab(b0)_.(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:ab_.(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a|_.2力向量力向量与前面学过的自由向量有区别(1)相同点:力和向量都既要考虑_又要考虑_(2)不同点:向量与_无关,力和_有关,大小和方
18、向相同的两个力,如果_不同,那么它们是不相等的3向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是_(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_运算,运动的叠加亦用到向量的合成(3)动量m是_(4)功即是力F与所产生位移s的_考点一 三角形问题例1点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点变式训练1 在ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7),则BC边的中线AD的长是()A2 B. C3 D.变式训练2 若O是ABC所在平面内一点,且满足|2|,则ABC的形状是(
19、)A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形变式训练3 设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(2)()0,则ABC的形状一定是_考点二 向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|3,|4,|5.则_.变式训练4 如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若m,n,则mn的值为_ 考点三 向量的应用例3 两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120时,合力大小为()A40 N B10 N C20N D10 N变式训练5 在水流速度为4千米/小时的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行,则船实际航行的速度的大小为_
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