高一--平面向量讲义.doc

　平面向量讲义
§2.1　平面向量的实际背景及基本概念

1．向量：既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．
(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量a平行于b，记作________．
②规定：零向量与__________平行．

考点一　向量的有关概念

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有＝；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

变式训练1　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同则a＝b；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

考点二　向量的表示方法

例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、；　(2)求||.

考点三　相等向量与共线向量
例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.

(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．

§2.2　平面向量的线性运算

1．向量的加法法则
(1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.
(2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.

3. 相反向量
(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．
(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______.
②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.
③零向量的相反向量仍是__________．

4. 向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
___________________________________________________________________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝__________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.

5．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝__________.
(2)λa (a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.

6．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝____________.
(3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝____________＝________；
λ(a－b)＝____________.

7．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

8．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝__________________.

考点一　运用向量加法法则作和向量

例1　如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.

变式训练1　如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.

考点二　运用向量加减法法则化简向量

例2　化简：
（1）＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.
（4）(－)－(－)． (5)(－)－(－)；
（6）(＋＋)－(－－)．

变式训练2　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.

变式训练3　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，
＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.

考点三 向量的共线

例3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝

变式训练4 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上

考点四：三点共线

例4两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

变式训练5 已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D

变式训练6 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y， 则x＋y＝________.

§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.
(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．

2.两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．
②当θ＝0°时，a与b________.
③当θ＝180°时，a与b________.
(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．

3．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________________.

4．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_____________即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

5．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有______________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

6．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．

考点一　对基底概念的理解

例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②

变式训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.
其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)

考点二　用基底表示向量

例2　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b试用ab表示、、.

变式训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.

考点三　平面向量基本定理的应用

例3　如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.

变式训练3　如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．

考点四　平面向量的坐标运算
例4　已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.

变式训练4　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.

考点五　平面向量的坐标表示

例5　已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.

变式训练5　设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj (m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．

考点六　平面向量坐标的应用

例6　已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．

变式训练6　已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

考点七　平面向量共线的坐标运算

例7　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

变式训练7　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

考点八　平面向量的坐标运算
例8　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．

变式训练8　已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，求点B的坐标．

考点九　利用共线向量求直线的交点

例9　如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．

变式训练9　平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点坐标．

§2.4　平面向量的数量积
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．

2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．

3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝_____＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．
4．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.
即两个向量的数量积等于________________．

5．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔________________.

6．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝________________________.

7．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.

考点一　求两向量的数量积

例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

变式训练1　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.

考点二　求向量的模长

例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为求|a＋b|，|a－b|.

变式训练2　已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.

考点三　向量的夹角或垂直问题

例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

变式训练3　已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？

考点四　向量的坐标运算

例4　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

变式训练4　若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.

考点五　向量的夹角问题

例5　已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．

变式训练5　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．

考点六　向量数量积坐标运算的应用

例6　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

变式训练6　以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标．

§2.5　平面向量应用举例
1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.

2．力向量
力向量与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．
(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．

3．向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是________．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．
(3)动量mν是______________．
(4)功即是力F与所产生位移s的________．

考点一 三角形问题
例1　点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O
是△ABC的(　　)
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点

变式训练1 在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B. C．3 D.

变式训练2 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形

变式训练3 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是__________．

考点二 向量的计算
例2　已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝______.

变式训练4 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．

考点三 向量的应用

例3 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A．40 N B．10 N C．20N D．10 N

变式训练5 在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．