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向量法证明三点共线的又一方法及应用
蒋李萍 2011年10月24日
平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.
原题 已知，其中. 求证：、、三点共线
思路：通过向量共线(如)得三点共线.
证明：如图,由得,则

、、三点共线.
思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点具有灵活性；
2. 反之也成立（证明略）：若、、三点共线，则存在唯一实数对、，满
足,且.揭示了三点共线的又一个性质；
3. 特别地，时，，点为的中点，揭示了
中线的一个向量公式，应用广泛.
应用举例：
例1 如图，平行四边形中，点是的中点，点在上，且. 利用向量法证明：、、三点共线.
思路分析：选择点，只须证明,且.
证明：由已知，又点在上，且，得

又点是的中点，
，即

而
、、三点共线.
点评：证明过程比证明简洁.
例2如图，平行四边形中，，与相交于，求证：. .
思路分析：可以借助向量知识，只须证明：，而，又、、三点共线，存在唯一实数对、，且，使，从而得到与的关系.
证明：由已知条件，，又、、三点共线，可设，则

又、、三点共线，则存在唯一实数对、，使，且.
又

根据①、②得
，解得

点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.
练习题：