向量法证明三点共线的又一方法及应用.doc

向量法证明三点共线的又一方法及应用蒋李萍 2011年10月24日平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.原题 已知，其中. 求证：、三点共线思路：通过向量共线(如)得三点共线.证明：如图,由得,则、三点共线.思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若、三点共线，则存在唯一实数对、，满足,且.揭示了三点共线的又一个性质；3. 特别地，时，点为的中点，揭示了中线的一个向量公式，应用广泛.应用举例：例1 如图，平行四边形中，点是的中点，点在上，且. 利用向量法证明：、三点共线.思路分析：选择点，只须证明,且.证明：由已知，又点在上，且，得又点是的中点，即而、三点共线.点评：证明过程比证明简洁.例2如图，平行四边形中，与相交于，求证：. .思路分析：可以借助向量知识，只须证明：，而，又、三点共线，存在唯一实数对、，且，使，从而得到与的关系.证明：由已知条件，又、三点共线，可设，则又、三点共线，则存在唯一实数对、，使，且.又根据、得，解得点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.练习题：