固体物理第三章.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章,主要讨论晶格动力学,晶体中离子实或原子围绕其平衡位置振动,振动对固体性质影响。,晶格振动决定了晶体宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研究晶体电学性质、光学性质、超导等主要理论基础。,晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，1912年由玻恩和卡门建立，其,基本假设,：,假设晶体中每个原子中心平衡位置在对应晶格格点上；,这个原子离开平衡位置位移与原子间距比是小量，能够用谐振近似，也就是说原子间弹性势能能够表示成位移二次项。,第1页,本章主要内容,用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动本征频率；,用格波来描写晶格原子集体运动；,用量子理论来表述格波对应能量量子；,在此基础上处理固体热学性质。,第三章 晶格振动和晶体热学性质,第2页,3.1 一维晶格振动,晶格振动根本原因:原子间存在着相互作用力。对于一对原子而言，能够用彼此间相互作用势能来表示。,一维单原子链振动是简单可解问题，又能表达晶格振动基本特点。,把一些主要方法和结论推广到三维情况。,第3页,一、一维简单晶格,为了简单起见，采取简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力，正比于原子间距离对平衡距离偏差，原子振动如同弹簧振子。,设两原子间互作用势为U（r）,这两原子间互作用力为：,普通条件下，原子作微小振动，Un,a,，为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：,a,一维原子键振动,第4页,当（r-a）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（r-a）,2,项，则原子间距离改变为（r-a）时,互作用力为：,为常数,第5页,得到一对原子间距离改变为（r-a）时受到弹性力为：,令,称为弹性恢复力系数。,第6页,考查第n个原子受到力：,只考虑最近邻原子间作用力，则第n个原子受到力为：,第n个原子牛顿运动方程为：,一维原子键振动,第7页,通常采取试解方法求解。假设上式含有简谐波形式试解：,q为波矢，qna是序号为n原子在t=0时刻振动位相。,l为整数，则,若两原子位相因子之差：,序号为n原子位移：,即两原子因振动而产生位移相同,第8页,即该两原子有相反位移。,时,而当,表明，在任一时刻，原子位移有一定周期分布。,原子位移组成了波，这种波称为,格波,。,格波：晶体中全部原子共同参加一个频率相同振动，,不一样原子间有振动相位差，这种振动以波形式在,整个晶体中传输，称为格波。,第9页,将简谐波形式试解代入运动学方程,第10页,对应相同角频率，i为整数,考虑振动波函数单值要求，波矢q可限制在以下范围（简约布里渊区）：,注意到,说明格波频率 在波矢空间内是以,倒格矢2/a为周期周期函数。波矢q与波矢q格波等价。,这也正是晶格排列周期性结果。,第11页,上式中指标n已被消去，这意味着全部原子运动方程都导出一样,频率波矢关系（称为色散关系）,。表明试解代表一个简正模型（即一个,和一个,q,值）格波。,格波：,连续介质弹性波：,第12页,从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波中X是可连续取值；而在格波中只能取na（原子位置），这是一系列周期排列点。,一个格波解表示全部原子同时作频率为 振动，不一样原子有不一样振动位相，相邻两原子振动位相差为aq。若aq改变,整数倍，这两个格波所描述全部原子振动状态完全相同。,第13页,格波波速,(1),在长波区域，波矢,色散关系格波称为声频支格波。,第14页,格波波速,在长波区域，波矢,波速是常数,某一原子周围若干原子都以相同振幅和位相振动。,第15页,格波波速,(2),波矢,对应格波截止频率,相邻原子以相同振幅作相对振动。,第16页,周期性边界条件,（玻恩卡门边界条件）：,实际情况：,N个原子组成一维晶体，边界上原子受力情况有别于体内原子。,构想边界条件：,无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应原子运动情况都一样。,近似考虑：,N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。,玻恩卡门边界条件,：,德国理论物理学家，量子力学奠基人之一玻恩，M.(Max Born 18821970).1954年荣获诺贝尔物理学奖,第17页,周期性边界条件,（玻恩卡门边界条件）：,上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态波矢q只能取一些分立值。,第18页,因为q取值范围限制在第一布里渊区，即,q只能取相隔分立值,第19页,允许波矢数目等于N；,振动谱是分离谱；,晶格振动波矢数目晶格原胞数,第一布里渊区内波矢代表点数目为,在波矢空间中，每一个可能q所占据线度为,波矢代表点密度即为,（单位长度波矢代表点数目）,第20页,二、一维复式格子,晶格由质量分别为m和M两种不一样原子组成一维复式格子，晶格常数2a（相邻同种原子间距离）。,当原子产生位移时，平衡位置在2n与第(2n+1)个原子运动方程：,假设：,分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子相互作用力相同，即,1,2,2a,第21页,试解：,A与B分别表示质量为m与M原子振幅,。,将试解代入运动方程可得：,第22页,这是振幅A与B线性齐次方程，A与B不能同时为零，要求,由此可得,第23页,一维双原子复式格子含有两支色散关系,一样，对于一维复式格子，q值限制在,以确保u,n,单值性。如图所表示。,第24页,声学波和光学波,在布里渊区,边界/2a处到达最大值,在布里渊区,边界/2a处到达最小值,第25页,由mM可见，在两支色散关系间存在一频隙。,O,在布里渊区中心，即倒空间原点到达其最大值：,第26页,讨论：（1）光学波与声学波,即,称频率较高一支,O,格波为,光学波,因为光学格波频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振这是光谱学中一个主要效应。,称频率较低一支,A,格波为,声学波。,当q,0时，,-A,有近似于线性色散关系,第27页,而波速为,为一常数。,频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波特点.,第28页,（2）相邻两种不一样原子振幅比,这是因为,而,这有两种情况：,对于声学波,由（3）式,第29页,这说明，相邻两种不一样原子振幅有相同正号或负号，即对于声学波：,相邻原子都是沿着同一方向振动。,当在长波极限，即波矢q靠近于布里渊区中心附近，q,0时，,A,0，有,说明长波限原胞内两个原子振幅相同,第30页,相邻原子振动位相差qa,0,对于光学波,因为,而,表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心振动,相邻两种原子振幅之比，由（3）得到,第31页,这表明，对于光学波，相邻两种不一样原子振动方向是相反,可得,对于长光学波：,即原胞质心保持不动。,长波光学波描述原胞是原子间相对运动。,当q,0时，cos(qa),1，又,第32页,（3）短波限格波特点,以上讨论两频率分支区分对于短波限，即波矢在布里渊区边界q=,/2a处并不显著。,对于声学波,-A,，有,质量为m原子静止，质量为M原子振动。,对于光学波,O，,有,质量为M原子静止，而质量为m原子振动。,二者都对应只有一个原子振动情形。,第33页,(4)用周期性边界条件确定波矢,波恩卡门周期性边界条件,对一维复式格子，有类似结果：,同一维单原子晶格一样，在,第一布里渊区q可有N个不一样取值,。,第34页,注意：这里每个q对应两个不一样,O，,A,。,所以晶体中共有2N个独立振动模式。,一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。所以，晶体自由度数为2N。,得出结论：,晶格振动波矢q数目晶体原胞数。,晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数,第35页,对于,晶格振动波，最主要结果是两个,：,一是分析出含有N个原胞晶体中多少个晶格振动模式（或者说有多少种基本波动解）对应声子种类。,二是计算出振动波色散关系，即波动频率波数关系。对应声子能量动量关系。,本节结束,第36页,