固体物理第三章.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章,主要讨论晶格动力学,晶体中离子实或原子围绕其平衡位置振动,振动对固体性质影响。,晶格振动决定了晶体宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研究晶体电学性质、光学性质、超导等主要理论基础。,晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，1912年由玻恩和卡门建立，其,基本假设,：,假设晶体中每个原子中心平衡位置在对应晶格格点上；,这个原子离开平衡位置位移与原子间距比是小量，能够用谐振近似，也就是说原子间弹性势能能够表示成位移二次项。,第1页,本章主要内容,用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动本征频率；,用格波来描写晶格原子集体运动；,用量子理论来表述格波对应能量量子；,在此基础上处理固体热学性质。,第三章 晶格振动和晶体热学性质,第2页,3.1 一维晶格振动,晶格振动根本原因:原子间存在着相互作用力。对于一对原子而言，能够用彼此间相互作用势能来表示。,一维单原子链振动是简单可解问题，又能表达晶格振动基本特点。,把一些主要方法和结论推广到三维情况。,第3页,一、一维简单晶格,为了简单起见，采取简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力，正比于原子间距离对平衡距离偏差，原子振动如同弹簧振子。,设两原子间互作用势为U（r）,这两原子间互作用力为：,普通条件下，原子作微小振动，Un,a,，为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：,a,一维原子键振动,第4页,当（r-a）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（r-a）,2,项，则原子间距离改变为（r-a）时,互作用力为：,为常数,第5页,得到一对原子间距离改变为（r-a）时受到弹性力为：,令,称为弹性恢复力系数。,第6页,考查第n个原子受到力：,只考虑最近邻原子间作用力，则第n个原子受到力为：,第n个原子牛顿运动方程为：,一维原子键振动,第7页,通常采取试解方法求解。假设上式含有简谐波形式试解：,q为波矢，qna是序号为n原子在t=0时刻振动位相。,l为整数，则,若两原子位相因子之差：,序号为n原子位移：,即两原子因振动而产生位移相同,第8页,即该两原子有相反位移。,时,而当,表明，在任一时刻，原子位移有一定周期分布。,原子位移组成了波，这种波称为,格波,。,格波：晶体中全部原子共同参加一个频率相同振动，,不一样原子间有振动相位差，这种振动以波形式在,整个晶体中传输，称为格波。,第9页,将简谐波形式试解代入运动学方程,第10页,对应相同角频率，i为整数,考虑振动波函数单值要求，波矢q可限制在以下范围（简约布里渊区）：,注意到,说明格波频率 在波矢空间内是以,倒格矢2/a为周期周期函数。波矢q与波矢q格波等价。,这也正是晶格排列周期性结果。,第11页,上式中指标n已被消去，这意味着全部原子运动方程都导出一样,频率波矢关系（称为色散关系）,。,表明试解代表一个简正模型（即一个,和一个,q,值）格波。,格波：,连续介质弹性波：,第12页,从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波中X是可连续取值；而在格波中只能取na（原子位置），这是一系列周期排列点。,一个格波解表示全部原子同时作频率为 振动，不一样原子有不一样振动位相，相邻两原子振动位相差为aq。若aq改变,整数倍，这两个格波所描述全部原子振动状态完全相同。,第13页,格波波速,(1),在长波区域，波矢,色散关系格波称为声频支格波。,第14页,格波波速,在长波区域，波矢,波速是常数,某一原子周围若干原子都以相同振幅和位相振动。,第15页,格波波速,(2),波矢,对应格波截止频率,相邻原子以相同振幅作相对振动。,第16页,周期性边界条件,（玻恩卡门边界条件）：,实际情况：,N个原子组成一维晶体，边界上原子受力情况有别于体内原子。,构想边界条件：,无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应原子运动情况都一样。,近似考虑：,N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。,玻恩卡门边界条件,：,德国理论物理学家，量子力学奠基人之一玻恩，M.(Max Born 18821970).1954年荣获诺贝尔物理学奖,第17页,周期性边界条件,（玻恩卡门边界条件）：,上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态波矢q只能取一些分立值。,第18页,因为q取值范围限制在第一布里渊区，即,q只能取相隔分立值,第19页,允许波矢数目等于N；,振动谱是分离谱；,晶格振动波矢数目晶格原胞数,第一布里渊区内波矢代表点数目为,在波矢空间中，每一个可能q所占据线度为,波矢代表点密度即为,（单位长度波矢代表点数目）,第20页,二、一维复式格子,晶格由质量分别为m和M两种不一样原子组成一维复式格子，晶格常数2a（相邻同种原子间距离）。,当原子产生位移时，平衡位置在2n与第(2n+1)个原子运动方程：,假设：,分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子相互作用力相同，即,1,2,2a,第21页,试解：,A与B分别表示质量为m与M原子振幅,。,将试解代入运动方程可得：,第22页,这是振幅A与B线性齐次方程，A与B不能同时为零，要求,由此可得,第23页,一维双原子复式格子含有两支色散关系,一样，对于一维复式格子，q值限制在,以确保u,n,单值性。如图所表示。,第24页,声学波和光学波,在布里渊区,边界/2a处到达最大值,在布里渊区,边界/2a处到达最小值,第25页,由mM可见，在两支色散关系间存在一频隙。,O,在布里渊区中心，即倒空间原点到达其最大值：,第26页,讨论：（1）光学波与声学波,即,称频率较高一支,O,格波为,光学波,因为光学格波频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中一个主要效应。,称频率较低一支,A,格波为,声学波。,当q,0时，,-A,有近似于线性色散关系,第27页,而波速为,为一常数。,频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波特点.,第28页,（2）相邻两种不一样原子振幅比,这是因为,而,这有两种情况：,对于声学波,由（3）式,第29页,这说明，相邻两种不一样原子振幅有相同正号或负号，即对于声学波：,相邻原子都是沿着同一方向振动。,当在长波极限，即波矢q靠近于布里渊区中心附近，q,0时，,A,0，有,说明长波限原胞内两个原子振幅相同,第30页,相邻原子振动位相差qa,0,对于光学波,因为,而,表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心振动,。,相邻两种原子振幅之比，由（3）得到,第31页,这表明，对于光学波，相邻两种不一样原子振动方向是相反,可得,对于长光学波：,即原胞质心保持不动。,长波光学波描述原胞是原子间相对运动。,当q,0时，cos(qa),1，又,第32页,（3）短波限格波特点,以上讨论两频率分支区分对于短波限，即波矢在布里渊区边界q=,/2a处并不显著。,对于声学波,-A,，有,质量为m原子静止，质量为M原子振动。,对于光学波,O，,有,质量为M原子静止，而质量为m原子振动。,二者都对应只有一个原子振动情形。,第33页,(4)用周期性边界条件确定波矢,波恩卡门周期性边界条件,对一维复式格子，有类似结果：,同一维单原子晶格一样，在,第一布里渊区q可有N个不一样取值,。,第34页,注意：这里每个q对应两个不一样,O，,A,。,所以晶体中共有2N个独立振动模式。,一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。所以，晶体自由度数为2N。,得出结论：,晶格振动波矢q数目晶体原胞数。,晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数,第35页,对于,晶格振动波，最主要结果是两个,：,一是分析出含有N个原胞晶体中多少个晶格振动模式（或者说有多少种基本波动解）对应声子种类。,二是计算出振动波色散关系，即波动频率波数关系。对应声子能量动量关系。,本节结束,第36页,