二轮复习案例设计--导数及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数及其应用,罗田一中 王建林,二轮复习案例设计,1.导数的概念,(1),(2),(3),f,(,x,0,)与,f,(,x,)的关系.,2.导数的几何意义,(1)函数,y,=,f,(,x,)在,x,=,x,0,处的导数,f,(,x,0,)就是曲线,y,=,f,(,x,),在点（,x,0,f,(,x,0,)）处的切线的斜率.即,k,=,f,(,x,0,).,(2)曲线,y,=,f,(,x,)在点(,x,0,f,(,x,0,)处的切线方程为,y,-,f,(,x,0,)=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,)3)导数的物理意义：,s,(,t,)=,v,(,t,),v,(,t,)=,a,(,t,).,3.基本初等函数的导数公式和运算法则,（1）基本初等函数的导数公式,原函数,导函数,f,(,x,)=,c,f,(,x,)=0,f,(,x,)=,x,n,(,n,N,*),f,(,x,)=,nx,n,-1,f,(,x,)=sin,x,f,(,x,)=cos,x,f,(,x,)=cos,x,f,(,x,)=-sin,x,f,(,x,)=,a,x,(,a,0且,a,1),f,(,x,)=,a,x,ln,a,f,(,x,)=e,x,f,(,x,)=e,x,f,(,x,)=log,a,x,（,a,0且,a,1）,f,(,x,)=ln,x,（2）导数的四则运算法则,u,(,x,),v,(,x,)=,u,(,x,),v,(,x,).,u,(,x,),v,(,x,)=,u,(,x,),v,(,x,)+,u,(,x,),v,(,x,).,(3)复合函数求导,复合函数,y,=,f,(,g,(,x,)的导数和,y,=,f,(,u,),u,=,g,(,x,)的导数,之间的关系为,y,x,=,f,(,u,),g,(,x,).,4.函数的性质与导数,（1）在区间(,a,b,)内，如果,f,(,x,)0，那么函数,f,(,x,)在区间（,a,b,）上单调递增.,在区间（,a,b,）内，如果,f,(,x,)0，那么函数,f,(,x,),在区间（,a,b,）上单调递减.,（2）求极值的步骤,求,f,(,x,)；求,f,(,x,)=0的根；判定根两侧导,数的符号；下结论.,（3）求函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的最大值与最小,值的步骤,求,f,(,x,)；,求,f,(,x,)=0的根（注意取舍）；,求出各极值及区间端点处的函数值；,比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最,小的就是最小值）.,一、导数几何意义的应用,例1,（2008,海南理，21）设函数,（,a,b,Z,），曲线,y,=,f,(,x,)在点（2，,f,（2）处的,切线方程为,y,=3.,（1）求,f,（,x,）的解析式；,（2）证明：函数,y,=,f,（,x,）的图象是一个中心对称,图形，并求其对称中心；,（3）证明：曲线,y,=,f,(,x,)上任一点的切线与直线,x,=1,和直线,y,=,x,所围三角形的面积为定值，并求出此定,值.,思维启迪,(1)先求,f,(,x,).再由,f,(2)=0,f,(2)=3.,解得,a,b,.,(2)利用图象的对称和平移变换求解.,(3)先求过曲线上任一点（,x,0,y,0,）的切线方程，,然后将面积用点（,x,0,y,0,）坐标表示，再用上点,（,x,0,y,0,）在,f,(,x,)上即得证.,（1）,解,因为,a,b,Z,，故,(2),证明,已知函数,y,1,=,x,都是奇函数,所以函数 也是奇函数,其图象是以原点,为中心的中心对称图形.,而,可知,函数,g,(,x,)的图象按向量,a,=(1,1)平移,即得到,函数,f,(,x,)的图象,故函数,f,(,x,)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称,图形.,(3),证明,在曲线上任取一点,由 知,过此点的切线方程为,令,x,=1,得,切线与直线,x,=1的交点为,令,y,=,x,得,y,=2,x,0,-1,切线与直线,y,=,x,的交点为(2,x,0,-1,2,x,0,-1);,直线,x,=1与直线,y,=,x,的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为,所以,所围三角形的面积为定值2.,探究提高,求曲线切线方程的步骤是：,（1）求出函数,y,=,f,(,x,)在点,x,=,x,0,的导数，即曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,（,x,0,f,(,x,0,)）处切线的斜率；,（2）在已知切点坐标,P,（,x,0,f,(,x,0,)）和切线斜率的,条件下，求得切线方程为,y,-,y,0,=,f,(,x,0,),(,x,-,x,0,).,注意：当曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,（,x,0,f,(,x,0,)）处的切线,平行于,y,轴（此时导数不存在）时，由切线定义可,知，切线方程为,x,=,x,0,；,当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标，,再求解.,变式训练1,（2009,启东模拟）已知函数,f,（x,）,的图象在点,M,（-1，,f,（-1）处的,切线方程为,x,+2,y,+5=0.,（1）求函数,y,=,f,（,x,）的解析式；,（2）求函数,y,=,f,（,x,）的单调区间.,解,（1）由函数,f,（,x,）的图象在点,M,（-1，,f,（-1）处的切线方程为,x,+2,y,+5=0，,知-1+2,f,（-1）+5=0，,即,f,（-1）=-2，,解得,a,=2，,b,=3或,a,=-6，,b,=-1,b,+10，,b,=-1舍去.,所以所求的函数解析式是,（2）,令-2,x,2,+12,x,+6=0，解得,x,1,=3-，,x,2,=3+.,当,x,3-，或,x,3+时，,f,x,）0；,当3-,x,3+时,，f,（,x,）0.,所以 在（-，3-）内是减函,数，在（3-，3+）内是增函数，在,（3+，+）内是减函数.,所以,f,(,x,)的单调递增区间是（3-，3+），单调递减区间是（-,3-）,（3+,+）,.,二、利用导数研究函数的单调性,例2,（2009,陕西文，20）已知函数,f,(,x,)=,x,3,-,3,ax,-1,a,0.,(1)求,f,(,x,)的单调区间；,（2）若,f,(,x,)在,x,=-1处取得极值，直线,y,=,m,与,y,=,f,(,x,),的图象有三个不同的交点，求,m,的取值范围.,解,（1）,f,(,x,)=3,x,2,-3a,=3(,x,2,-,a,).,当,a,0,当,a,0时，由,f,(,x,)0解得,x,由,f,(,x,)0,解得-,x,0时,f,(,x,)的单调增区间为(-,),(,+),f,(,x,)的单调减区间为（-,）.,(2),f,(,x,)在,x,=-1处取得极值,f,(-1)=3,(-1),2,-3,a,=0.,a,=1.,f,(,x,)=,x,3,-3,x,-1,f,(,x,)=3,x,2,-3.,由,f,(,x,)=0解得,x,1,=-1,x,2,=1,由（1）中,f,(,x,)的单调性可知,f,(,x,)在,x,=-1处取得极大值,f,(-1)=1,在,x,=1处取得极小值,f,(1)=-3.,直线,y,=,m,与函数,y,=,f,(,x,)的图象有三个不同的交点,结合,f,(,x,)的单调性可知,m,的取值范围是（-3，1）.,变式训练2,（2009,北京文，18）设函数,f,(,x,)=,x,3,-3,ax,+,b,(,a,0).,(1)若曲线,y,=,f,(,x,)在点（2，,f,(2)）处与直线,y,=8相,切，求,a,b,的值；,（2）求函数,f,(,x,)的单调区间与极值点.,解,（1）,f,(,x,)=3,x,2,-3,a,.,因为曲线,y,=,f,(,x,)在点（2，,f,(2)）处与直线,y,=8相,切，,所以 即 解得,f,(2)=0.,f,(2)=83(4-,a,)=0,8-6,a,+,b,=8,a,=4,b,=24.,(2),f,(,x,)=3(,x,2,-,a,)(,a,0).,当,a,0函数,f,(,x,)在（-,+）单调递,增；此时函数,f,(,x,)没有极值点.,当,a,0时，由,f,(,x,)=0得,x,=,.,当,x,(-,-)时,f,(,x,)0,函数,f,(,x,)单调递增；,当,x,(-,)时，,f,(,x,)0,函数,f,(,x,)单调递增.,此时,x,=-是,f,(,x,)的极大值点,x,=,是,f,(,x,)的极小值点.,综上所述，,当,a,0时，,f,(,x,)的增区间是(-,),(,+)，减区间是（-,）.当,a,0时，,x,=-是极大值点,x,=是极小值点.,三、利用导数研究函数的极值和最值,例3,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,mx,2,+,nx,-2的图象过点(-1,-6),且函数,g,(,x,)=,f,(,x,)+6,x,的图象关于,y,轴对称.,(1)求,m,、,n,的值及函数,y,=,f,(,x,)的单调区间；,(2)若,a,0，求函数,y,=,f,(,x,)在区间（,a,-1，,a,+1）内,的极值.,思维启迪,（1）根据,f,(,x,)、,g,(,x,)的函数图象的性,质，列出关于,m,，,n,的方程，求出,m,、,n,的值.,（2）分类讨论.,解,(1)由函数,f,(x,)的图象过点（-1，-6），,得,m,-,n,=-3.,由,f,(,x,)=,x,3,+,mx,2,+,nx,-2,得,f,(,x,)=3,x,2,+2,mx,+,n,则,g,(,x,)=,f,(,x,)+6,x,=3,x,2,+(2,m,+6),x,+,n,.,而,g,(,x,)的图象关于,y,轴对称，所以,所以,m,=-3.代入得,n,=0.,于是,f,(,x,)=3,x,2,-6,x,=3,x,(,x,-2).,由,f,(,x,)0得,x,2或,x,0,故,f,(,x,)的单调递增区间是(-,0),（2，+);,由,f,(,x,)0,得0,x,2,故,f,(,x,)的单调递减区间是0，2）.,（2）由（1）得,f,(,x,)=3,x,(,x,-2),令,f,(,x,)=0得,x,=0或,x,=2.,当,x,变化时，,f,(,x,)、,f,(,x,)的变化情况如下表：,由此可得：,当0,a,1时，,f,(,x,)在（,a,-1，,a,+1）内有极大值,f,(0)=-2,无极小值；,当,a,=1时，,f,(,x,)在（,a,-1，,a,+1）内无极值;,当1,a,3时，,f,(,x,)在（,a,-1，,a,+1）内有极小值,f,(2)=-6,无极大值；,当,a,3时，,f,(,x,)在（,a,-1,a,+1)内无极值.,综上得,当0,a,1时，,f,(,x,)有极大值-2无极小值；,x,(-,0),0,(0,2),2,(2,+),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),极大值,极小值,当1,a,3时，,f,(,x,)有极小值-6,无极大值；,当,a,=1或,a,3时，,f,(,x,)无极值.,探究拓展,（1）求单调递增区间，转化为求不等式,f,(,x,)0(不恒为0)的解集即可，已知,f,(,x,)在,M,上递增,f,(,x,)0在,M,上恒成立，注意区别.,（2）研究函数的单调性后可画出示意图.,讨论区间与0，2的位置关系，画图截取观察,即可.,变式训练3,（2009,广州模拟）函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+,c,过曲线,y,=,f,(,x,)上的点,P,（1，,f,(1)）的切线方程为,y,=3,x,+1.,（1）若,y,=,f,(,x,)在,x,=-2时有极值,求,f,(,x,)的表达式；,（2）在（1）的条件下,求,y,=,f,(,x,)在-3，1上的,最大值；,（3）若函数,y,=,f,(,x,)在区间-2，1上单调递增，,求实数,b,的取值范围.,解,（1）由,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+,c,求导数得,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,.,过,y,=,f,(,x,)上点,P,（1，,f,(1)）的切线方程为,y,-,f,(1)=,f,(1)(,x,-1),即,y,-(,a,+,b,+,c,+1)=(3+2,a,+,b,)(,x,-1).,而过,y,=,f,(,x,)上点,P,（1,f,(1)）的切线方程为,y,=3,x,+1.,故 即,y,=,f,(,x,)在,x,=-2时有极值，故,f,(-2)=0.,-4,a,+,b,=-12.,由联立解得,a,=2,b,=-4,c,=5,f,(,x,)=,x,3,+2,x,2,-4,x,+5.,(2),f,(,x,)=3,x,2,+4,x,-4=(3,x,-2)(,x,+2),令,f,(,x,)=0，解得,3+2,a,+,b,=3,-,a,+,c,-2=1,2,a,+,b,=0,c,-,a,=3.,列下表f,(,x,)的极大值为,f,(-2)=13,极小值为,又,f,(-3)=8,f,(1)=4,f,(,x,)在-3，1上的最大值为13.,（3）,y,=,f,(,x,)在-2,1上单调递增.,又,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,.由（1）知2,a,+,b,=0.,f,(,x,)=3,x,2,-,bx,+,b,.,x,-3,(-3,-2),-2,1,f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),8,极大值,极小值,4,依题意在-2,1上恒有,f,(,x,)0,即3,x,2,-,bx,+,b,0在-2，1上恒成立，,当 时,即,b,6时,f,(,x,),min,=,f,(1)=3-,b,+,b,0，,b,6时符合要求,当 时，即,b,-12时，,f,(,x,),min,=,f,(-2)=12+2,b,+,b,0,b,不存在.,当 即-12,b,0的必要不充分条件.,2.可导函数极值的理解,（1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；（2）对于可,导函数,f,(,x,)，,“,f,(,x,)在,x,=,x,0,处的导数,f,(,x,)=0,”,是,“,f,(,x,)在,x,=,x,0,处取得极值,”,的必要不充分条件；,（3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.,3.利用导数解决优化问题的步骤,（1）审题设未知数；（2）结合题意列出函数关系式；（3）确定函数的定义域；（4）在定义域内求极值、最值；（5）下结论.,强化训练：,一、选择题,1.函数,f,(,x,)=-,x,3,+,x,2,+,tx,+,t,在（-1，1）上是增函数，则,t,的取值范围是（）,A.,t,5B.,t,5 C.,t,5 D.,t,5,解析,f,(,x,)在（-1，1）上是增函数，,f,(,x,)=-3,x,2,+2,x,+,t,在（-1，1）上,f,(,x,)0.,t,3,x,2,-2,x,.,设函数,g,(,x,)=3,x,2,-2,x,，,由于,g,(,x,)的图象是对称轴为 开口向上的抛物,线，,故要使,t,3,x,2,-2,x,在区间（-1，1）上恒成立,t,g,(-1)，即,t,5.,故,t,的取值范围是,t,5.故选C.,答案,C,2.（2009,天津理,4）设函数,则,方程f,(,x,)=0 （）,A.在区间 (1,e)内均有实根,B.在区间 (1,e)内均无,实根,C.在区间 内有实根，在区间(1,e)内无实根,D.在区间 内无实根,在区间(1,e)内有实根,解析,因为 令,f,(,x,)=0，则,x,=3,当,x,(0,3)时，,f,(,x,)0或,a,-1时，在,x,=,a,处取得极小值，,当-1,a,0时，在,x,=,a,处取得极大值,故,a,(-1,0).,C,4.设,f,(,x,),g,(,x,)分别是定义在,R,上的奇函数和偶函数，,当,x,0,且,g,(-3)=0,则不等式,f,(,x,),g,(,x,)0，即当,x,0时，,F,（,x,）是增,函数.又,g,（-3）=0，,F,（,x,）,的图象大体如图所示,F,（,x,）0,即,f,(,x,),g,(,x,)0的范围为（-，-3）,（0，3）.,答案,D,5.（2008,广东文，9）设,a,R,若函数,y,=e,x,+,ax,x,R,有大于零的极值点，则 (),A.,a,-1,C.,D.,解析,y,=e,x,+,ax,，,y,=e,x,+,a,.,当,a,0时,y,不可能有极值点,故,a,0,即ln(-,a,)ln1,a,0,a,2或,a,2或,a,0(,x,0).这时,f,(,x,)在,（-,0）,(0,+)内是增函数.,当,a,0时，令,f,(,x,)=0，解得,x,=,.,当,x,变化时，,f,(,x,),f,(,x,)的变化情况如下表：,x,(-,-,),(-,0),(0,),(,+,),f,(,x,),+,0,-,-,0,+,f,(,x,),极大值,极小值,所以,f,(,x,)在（-,）,(,+)内是增函数，,在（-,0）,(0,)内是减函数.,综上所述，当,a,0时,f,(,x,)在（-,0）,（0,+）,内是增函数,当,a,0时，,f,(,x,)在（-,-），（,+）内是增,函数，在（-,0），(0,)内是减函数.,（3）由（2）知，,f,（,x,）在 的最大值为,与,f,(1)中的较大者，对于任意的 不等式,f,(,x,)10在 上恒成立，当且仅当,对任意的 成立.,从而得 所以，满足条件的,b,的取值范围是,10.(2009,启东模拟)已知函数 (,a,R,).,(1)若函数,f,(,x,)在,x,=2处的切线方程为,y,=,x,+,b,，求,a,、,b,的值；,（2）若函数,f,(,x,)在（1，+）上为增函数，求,a,的,取值范围；,（3）讨论方程,f,(,x,)=0解的个数，并说明理由.,解,(1)因为 所以,又因为,f,(,x,)在,x,=2处的切线方程为,y,=,x,+,b,，所以,所以,(2)若函数,f,(,x,)在（1，+）上为增函数，则,在（1，+）上恒成立，即,a,x,2,在（1，+）上恒成立.所以,a,1.,（3）当,a,=0时，,f,(,x,)在定义域（0，+）上恒大于,0，此时方程无解；,当,a,0时，,因为当,x,(0,)时，,f,(,x,)0，,f,(,x,)在 ,+）,内为增函数.,所以当,x,=时，,f,(,x,)有极小值，即为最小值,当,a,(0,e)时，,此时方程,f,(,x,)=0无解；,当,a,=e时，.此时方程有唯一,解,x,=；,当,a,(e,+)时，,因为 且11时，(,x,-ln,x,)0，所以当,x,1时，,x,-,ln,x,1.则,x,ln,x,，,因为2,a,1，所以,所以方程,f,(,x,)=0在区间 ,+）上有唯一解.,即方程,f,(,x,)=0在区间（0,+）上有两个解.,综上所述，当,a,0,e)时，方程无解；当,a,e时，方程有两个解.,