常用数学公式.doc

常用数学公式
一、乘法与因式分解公式
1.1
1.2

1.4  
二、三角不等式
2.1
2.2
2.3
2.4
2.6
三、一元二次方程 的解

 3.2(韦达定理)根与系数的关系：

四、某些数列的前n项和

4.2   
4.3   

4.7  

五、二项式展开公式

六、三角函数公式
1  两角和公式
6.1
6.2

2  倍角公式
6.5
6.6

3  半角公式

4  和差化积

七、导数与微分
1  求导与微分法则

2  导数及微分公式

 八、不定积分表（基本积分）

二、因式分解
在第一章中，我們知道兩個x的一次式乘積展開後成為x的二次多項式。反過來說，如果能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。
因式分解
乘積展開
在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：

=

因式分解
乘積展開

=

在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。
現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。

2-1 提公因式
【從各項提公因式】
如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。
【範例1】因式分解下列多項式：
(1) (2)
(3)
【解】 (1) = =
(2) = (ab)( ab)2( ab)
= (ab)[(ab)2]
= (ab)(ab2)
(3) =
=
=

【分組提公因式】
當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。

【範例2】因式分解下列多項式：
(1) (2)
(3) (4)
【解】 (1) =
=
(2) 方法一：
=
=
=
方法二：
= （交換律）
=
=
(3) 方法一：
=
=
=

方法二：
=
=
=
(4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。
=
=
=
=
=
從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。
【拆項後分組提公因式】
有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。
【範例3】因式分解下列多項式：
(1) (2)
【解】 (1)
=
=
=
(2)
=
=
=
=
=
事實上，範例3的第(2)題也可用分組的方式來因式分解：
= (x4x22)(3x33x)
= (x21)(x22)3x(x21)
= (x21)(x23x2)
= (x1)(x1)(x1)(x2)
= (x1)2(x2)(x1)

【類題練習】因式分解下列多項式：
(1) (2)

【家庭作業】
因式分解下列多項式：
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
2-2十字交乘法
因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。
【二次三項式】
【範例1】因式分解下列多項式：
(1) (2)

【解】 (1) =

(2) =

【類題練習】因式分解下列多項式：
(1) (2)

【家庭作業】
因式分解下列多項式：
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
2-3利用乘法公式
對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來做因式分解。
【完全平方】

【範例1】因式分解下列各式：
(1) (2)
(3)
【解】 (1) = =
(2) =
=
(3)
=
=
= （或寫成）
【平方差】

【範例2】因式分解下列各式：
(1) (2) (3)
【解】 (1) =
=
=
=
=
(2 ) =
=
=
=
(3) =
=
=
=
【立方差、立方和】
=
=
【範例3】因式分解下列各式：
(1) (2) (3)
【解】 (1) =
=
=
(2) =
=
=
(3) =
=
=
【類題練習1】因式分解下列各式：
(1) (2)
　　在範例3的第(3)題中，也可以將寫成，因此得到：
=
=
=
顯然的，可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。
【配方法】
利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。
【範例4】因式分解下列多項式：
(1) (2)
【解】 (1) =
=
=
=
=
(2) =
=
=
=
=

事實上，在範例4的第(1)題中，所見到的
=
也是一個常見的乘法公式。
類題練習2】 因式分解下列各式：
(1) (2)
【範例5】因式分解下列多項式：
(1) (2)
【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解，我們也可以用補項的概念來因式分解。
=
=
=
=
=
(2) 很顯然，無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補項的方法來克服困難。
=
=
=
=
在國中時期，因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數，所以有些二次式無法分解。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。
【範例6】因式分解。
【解】 =
=
=
=
【類題練習3】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：
(1) (2) (3)
【家庭作業】
因式分解下列各式：
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.

三角函数及反三角函数
知识重点：
1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）
2、重点掌握三角函数公式：
（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）其中
3、掌握的周期、最值单调区间、平移伸缩变换
4、三角变换的三条原则：
（1）降低式子的次数：常用公式，降次，
因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）
（2）减少式中角的种数
①造特殊角（等）
②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等）
③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为等）
（3）减少式中三角函数的种类
常用方法：切割化弦
5、三角形中的边角关系：
（1）
（2）正弦定理：（2R为外接圆直径）
（3）余弦定理：

（a、b、c分别为三内角A、B、C的对边
6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用
练习题
1、是第四象限角，则等于（ ）
(A) 1 (B) (C) (D)
2、若，则=
3、设，则y的值为（ ）
（A）正值 （B）负值 (C)非负值 （D）正值或负值
4、求值：=
5、要得到函数的图像，只需将的图像（ ）
（A）向左平移个单位 (B)向右平移个单位
(C) 向左平移个单位 (D) 向右平移个单位
6、函数的递减区间是（ ）
（A） (B)
(C) (D)
7、已知：，则它的最大值，最小值是（ ）
（A）最大值不存在，最小值为 （B）最大值是，最小值不存在
(C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D）最大值是1，最小值是 -1
8、函数的最大值为
9、函数的最大值是（ ）
（A） (B) (C) (D)
10、化简=
11、求值：=
12、中，已知，则的形状为
13、当 时，方程无解
14、函数的图像的一条对称轴方程是（ ）
（A） （B） (C) (D)
15、“”是“函数的最小周期为”的（ ）
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件
16、在中，若，则的形状为（ ）
（A）等腰直角三角形 （B）直角三角形
（C）等腰三角形 （D）等边三角形
17、函数在内的递增区间是
18、函数的反函数是（ ）
（A） (B)
(C) (D)
19、函数的值域是( )
(A) (B) (C) (D)
20、满足的的取值范围是（ ）
（A） (B) (C) (D)
21、解简单的三角方程：
（1）
（2）
22、已知：，试用表示的值。
23、已知：，求的值。
24、在中，分别是角的对边，设成等差数列，，
求的值。
25、已知的三个内角满足，
求的值。
数学总复习（一）答案
一、（1）C （2）15 （3）57 （4）120 （5）轴 （6） （7）①③
（8） （9）（1，2） (10) C (11) (12) (13) A
(14) 540 (15) D (16) B (17) A (18) (19) (20)
(21) B (22) B (23) C (24) B (25) A (26) A
二、1、（1） （2） （3）
（4） （5）（0，1）
2、（1）2 （2）
(3) (4) (5)
3、（1）①3 ③45 （2） （3）② （4）② ③
4、（1）① ②2 （2） （3）①
②
5、