高一数学必修一---函数知识点总结.doc

3. 函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
常针对根号，举例：

令 ，原式转化为： ，再利用配方法。
⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1上的区间I且x1，x2∈I.若＞0（x1≠x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；
若＜0（x1≠x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。
② 用定义证明单调性的步骤:
<1>设x1，x2∈M，且；则
<2> 作差整理；
<3>判断差的符号； <4>下结论；
③ 增+增=增 减+减=减
④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减

（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）
f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.

⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。

1.定义 函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；
2．函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；
3．有关对称性的几个重要结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值．
若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；
若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(0, )中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
4．对称性与周期性之间的关系
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．

⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=对称;( 即:‘一均二等’的原则)
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.
③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。

9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数 ，若，则=
5.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则= 。
8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论．
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．