小学奥数教程之角度计算教师版全国通用.doc

4-1-3.角度计算

知识点拨

一、角
1、 角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角
2、 表示角的符号 ：∠
3、 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种
（1） 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2） 直角：等于90°的角叫做直角。
（3） 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4） 平角：等于180°的角叫做平角。
（5） 优角：大于180°小于360°叫优角。
（6） 劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7） 周角：等于360°的角叫做周角。

（8） 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9） 正角：逆时针旋转的角为正角。
（10） 0角：等于零度的角。
4、 角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形
1、 三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形
2、 内角和：三角形的内角和为180度；
外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、 三角形的分类
（1）按角分 ：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形
　　（2）按边分 ：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算
【例 1】 有下列说法：
(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，
(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．
(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．
(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．
(5)三角形的三个内角可以都是锐角．
(6)直角三角形中可胄邕有钝角．
(7)的角用10倍的放大镜看就变成了
其中，正确说法的个数是
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．
【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法
【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 ∠1
【答案】∠1
【例 3】 如图，在直角内有一条射线，并且比大20。则是__________
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【答案】
【例 4】  直线AB、CD相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示。则∠3∠1=______ 。
【考点】角度计算 【难度3星 【题型】填空
【解析】 ∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）（∠1+∠2）∠3∠1=
【答案】
【例 5】 如图，共端点A的线段a与d，b与e，c与f分别垂直，a与b的夹角是30°，e与f的夹角是45°，求c与d的夹角的度数。
图4

【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 a与b的夹角为30度，所以b与d的夹角为度，所以d与e的夹角是度，所以c与d的夹角为度.
【答案】15度
【例 6】 如图，直角的顶点在直线l上，则图中所有小于平角的角之和是 度。
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由一部分组成的角之和是180度，由两部分组成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。
【答案】450度
【例 7】 如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB＝________度。
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 所有小于平角的角之和=∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度，故∠2=40度。
【答案】∠AOB=40度
【例 8】 两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：（1）L的最大值是多少？（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
【考点】角度计算 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。否则，必有两条直线平行。
（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
【答案】（1）12条；（2）3240°
【例 9】 如图，点为直线上一点，是直角，则是______度.
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ，所以，所以.所以是60度.
【答案】60度
模块二、三角形内的角度计算
【例 10】 如图，将绕点C按顺时针方向旋转30°，得到，若，则∠BAC的度数是 。
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 因为是绕着点旋转得到的，所以,根据三角形的内角和定理知道
【答案】∠BAC度数是
【例 11】 如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A=          度。
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ∠5=130度，那么∠2+∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=100度，∠A=180-100=80度
【答案】80度
【例 12】 如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，
∴3×∠B＋21°＝180°, ∴∠B＝46°
∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°
∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?【答案】△ABC和△ADC是锐角三角形
【例 13】 如图，将四边形ABCD的四条边分别延长一段，得∠CBE,∠BAH,∠ADG,∠DCF,那么，这四个角的和等于         。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 凸多边形的外角和等于360。
【答案】360
模块三、角度在行程问题中的应用
【例 14】 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。小明从家里出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距离家         米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 通过画图可知小明距离家是200米。
【答案】200米
【例 15】 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家 米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 200米
【答案】200米
第 3 页