全等三角形的证明技巧与方法.doc

百年教育学校 初三数学复习资料（谭真）4、5
1、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC。
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.

【经验总结:见中线,延长加倍.】
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

应用：
1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，
线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短
1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：

25．（12分）（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．

三、平移变换
例1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证OE=OD
在AC上取点F，使AF=AE

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

五、旋转
例1。 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2 .D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3 。如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；
赞同

应用：
1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（图1）

（图2）

（图3）

25解：（1）令x=0，解得y=3∴点C的坐标为（0,3）
令y=0，解得x1=-1，x2=3∴点A的坐标为（-1,0）
点B的坐标为（3,0）
（2）由A，B两点坐标求得直线BC的解析式为y=-x+3
设点P的坐标为（x，-x+3）（0＜x＜3）∵PM∥y轴
∠PNB=90°，点M的坐标为（x，-x2+2x+3）
∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x
∵∴当x=时的面积最大
此时，点P的坐标为（，）∴PN=，BN=，BP=
∴.
（3）求得抛物线对称轴为x=1 设点Q的坐标为（1，）
∴

①当∠CNQ=90°时， 如图1所示即
解得： ∴Q1（1，）
②当∠NCQ=90°时，如图2所示 即
解得： ∴Q2（1，）
③当∠CQN=90°时，如图3所示
即
解得：
∴Q3（1，）Q4（1，）

25.解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=•AM•EM=．
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，∴D（﹣1，4）∴DQ=DC=，
∵FC=2DQ，∴FG=4，设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），
∴|﹣n2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，即n2+2n﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

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