专训2-因式分解的六种常见方法.doc

专训2　因式分解的六种常见方法
名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．
提公因式法
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是(　　)
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
2．【 中考·广州】分解因式：2mx－6my＝__________．
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.

公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.

公式法
直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.

先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)；
(2)－3x7＋24x5－48x3.

先局部再整体法
7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．

先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y2.

分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx；
(2)4－x2＋2xy－y2.

拆、添项法
10．分解因式：x4＋.

整体法
“提”整体
11．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．

“当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．

“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．

“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.

换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；
(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.

答案
1．B　22m(x－3y)
3．解：(1)原式＝x(2x－y)．
(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．
点拨：如果一个多项式第一项含有“－”，一般将“－”一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．
4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．
点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．
5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.
(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.
点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了．
6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)．
(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)
＝－3x3(x2－4)2
＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)
＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]
＝(x＋3)(2x＋1)．
点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．
8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.
(2)原式＝4xy－4x2－y2＝－(4x2－4xy＋y2)＝－(2x－y)2.
点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法因式分解．
9．解：(1)原式＝(m2－mn)＋(mx－nx)
＝m(m－n)＋x(m－n)
＝(m－n)(m＋x)．
(2)原式＝4－(x2－2xy＋y2)
＝22－(x－y)2
＝(2＋x－y)(2－x＋y)．
10．解：原式＝x4＋x2＋－x2
＝－x2
＝(x2－x＋)．
点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
11．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．
12．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4
＝(x＋y－2)2.
点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.
13．解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2
＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)
＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)
＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．
14．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)
＝(x－2)2－(y－3)2
＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
15．解：(1)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9
＝m2＋4m－2m－8＋9
＝m2＋2m＋1
＝(m＋1)2
＝(a2＋2a＋1)2
＝(a＋1)4.
(2)设b2－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1
＝n2＋3n＋n＋3＋1
＝n2＋4n＋4
＝(n＋2)2
＝(b2－b＋2)2.

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