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2[1].1.2空间两条直线之间的位置关系.ppt

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2、母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.1.2,空间中直线与,直线之间的位置关系,判断下列命题对错:,1.,如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上的所有点都在这个平面内。(),2.,将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。(),3.,四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么这四个点必在同一个平面内。(),4.,一条直线和一个点可以确定一个平面。(),5.,如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三条直线可以确定一个平面。(),温故知新,不同在,任何,一个平面内的两条直线叫做异面直线,

3、没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,平行,相交,异面,位置关系,公共点个数,是否共面,1.,异面直线的定义,a,与,b,是,相交,直线,a,与,b,是,平行,直线,a,与,b,是,异面,直线,a,b,M,答:,不一定,:它们可能异面,可能相交,也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?,a,b,a,b,思考,3.,异面直线的判定方法:,定义法:由定义判定两直线不可能在同一平面内,.(,借助反证法,),例如:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线,已知,:,求证:,直线,AB,和,a,是异面直线,a,A,B,(1),在如图所示的正方体中,指出哪些

4、棱所在的直线与直线,BA,1,是异面直线?,A,B,C,D,A,1,B,1,D,1,C,1,公理,4,平行于同一条直线的两条直线互相平行,.,注:,1.,直线,a,,,b,,,c,两两平行,可记为,a/b/c.,2.,公理,4,所表述的性质,叫做,空间平行线的传递性,.,3.,证明空间两直线平行 的方法:,(1),定义法:一要证两直线在同一平面内;二要证两直线没有公共点,(,反证法,),(2),公理法,平行公理,例,2,:在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,AB,与,C,1,D,1,,,AD,1,与,BC,1,是什么位置关系?为什么?,C,1,A,B,C,D,A,1

5、B,1,D,1,1,),ABA,1,B,1,,,C,1,D,1,A,1,B,1,,,AB C,1,D,1,2,),AB C,1,D,1,,且,AB=C,1,D,1,ABC,1,D,1,为平行四边形,故,AD,1,BC,1,练习:在上例中,,AA,1,与,CC,1,,,AC,与,A,1,C,1,的位置是什么关系?,A,B,C,A1,B1,C1,等角定理,1:,如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,.,D,D1,E,E1,等角定理,如图所示,,a,,,b,是两条,异面直线,,在空间中任选一点,O,,,过,O,点分别作,a,b,的平行线,a,和,b,a,b,P,a,

6、b,O,则这两条线所成,的锐角,(或直角),,称为,异面直线,a,,,b,所成的角,.,?,任选,O,a,若两条异面直线所成角为,90,则称它们互相垂直,.,异面直线,a,与,b,垂直也记作,ab.,平移,4.,两条异面直线所成的角,注,1:,异面直线,a,、,b,所成角,只与,a,、,b,的相互位置有关,而与点,O,位置无关,.,一般常把点,O,取在直线,a,或,b,上,.,a,b,O,a,注,2:,异面直线所成角的取值范围:,注,3,:,求异面直线所所成角的步骤:,一作、二证、三求解,练习,1,:每对异面直线所成的角是多少?,:A,1,B,与,D,1,C,1,:A,1,B,与,C,1,C,

7、A,1,B,与,CD,:A,1,B,与,C,1,D,:B,1,B,与,AD,:A,1,B,与,B,1,C,:A,1,B,与,B,1,D,1,45,45,45,90,60,90,60,A,1,B,1,B,A,D,1,C,1,D,C,A,1,D,1,C,1,B,1,A,B,C,D,M,N,例,1,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,M,为,AB,的中点,N,为,B,B,1,的中点,求,A,1,M,与,C,1,N,所成角的余弦值。,解:,E,G,如图,取,A,1,B,1,的中点,E,,连,BE,,有,BE,A,1,M,取,C,C,1,的中点,G,连,BG.,有,BG

8、C,1,N,则,EBG,即为所求角(或补角)。,由余弦定理,,cosEBG=2/5,F,取,E,B,1,的中点,F,,连,NF,有,BENF,A,1,M,则,FNC,1,为所求角(或补角),。,想一想:,还有其它方法吗?,BG=BE=a,,,EG =a,连,EG,,在,EBG,中,为什么?,例,2,:,在,长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,,AA,1,=c,,,AB=a,,,AD=b(ab),求异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成角的余弦值。,取,BB,1,的中点,M,,连,O,1,M,,则,O,1,M,D,1,B,,,如图,连,B,1,D,1,与,A,1,C,1

9、交于,O,1,,,于是,C,1,O,1,M,就是异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角(或其补角),解:,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,M,O,1,方法归纳,:,平移法,即根据定义,以“运动”的观点,,用“平移转化”的方法,使之成,为相交直线所成的角。,a,c,b,解法二,:,连接 交 于,O,,取 中点,N,,连接,ON,,则,NOB,即为异面直线所成角(或补角),O,N,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,解法三,:,方法归纳:,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,如图,补一个与原

10、长方体全等的并与原长方体有公共面,连结,A,1,E,,,C,1,E,,则,A,1,C,1,E,为,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角,(,或补角,),,F,1,E,F,E,1,B,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,BC,1,的长方体,B,1,F.,H,E,G,练习,2,如图,在空间四边形,ABCD,中,已知,AD=1,,,BC=,,且,ADBC,,对角线,BD=,,,AC=,,求,AC,与,BD,所成的角,C,A,B,D,F,方法归纳,:,中位线平移,在空间图形中,利用中点,连接两个空间图形;利用,中位线的平行与长度传递,异面直线的长度与方向。,练习,2,(解法二),A,B,D,E,F,C,H,G,R,定角一般方法:,(,1,)直接平移,小结:,1,、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角,体现了化归的数学思想。,2,、用余弦定理求异面直线所成角时,要注意角的 范围:,(,1,)当,cos,0,时,所成角为,(,2,)当,cos,0,时,所成角为,(,3,)当,cos =0,时,所成角为,3,、,当异面直线,垂直,时,还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90,o,(,3,)补形法,一般步骤是:,定角(作证指),解三角形,找三角形,(,2,)中位线平移,

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